Zenbaki errealak, Cantorren bidea

Zenbaki errealen gorputz ordenatu metrikoa, azpigorputz txikienarekiko trinkoa eta osatua den espazio euklidearra da.

Hots: azpigorputz txikienarekiko trinkoa eta osatua den espazio euklidearra, zenbaki errealen isomorfismo isometriko ordenatua da.

Baldintza hauek beharrezkoak eta nahikoak dira, zenbaki errealak eraikitzeko, eta ondorioz axiomak dira.

Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu metrikoa, espazio euklidearrik txikienaren isomorfismo isometriko ordenatua da. Eta baldintza horiek beharrezkoak eta nahikoak dira Zenbaki arrazionalen gain isomorfismo isometriko ordenatu bat egiteko, eta ondorioz zenbaki arrazionalak eraikitzeko axiomak dira.

Espazio euklidearrik txikienaren elementuak puntuekin konparatuz gero, lerro zuzen euklidear batean posizio arrazionaletan dauden puntuekin konpara daitezke.

Lerro zuzena, euklidesek emaniko bost axiometan oinarritutako zuzen baten eraikuntza da, eta bost axioma hauek erabiliz kokatzen dira zenbaki arrazionalak. Puntu arrazional hauek izaera euklidearra dutela kontsideratzen da. Baina espazio euklidearra eraikitzeko ez dira beharrezkoak bost axiomak. Lehenik bi puntu emanik unitateko segmentua eraikitzen da (unitateko segmentu distantzia 1 ), Segmentu bat ezker eskuin desplazatzen bada lerro zuzenean, ezkerreko erpin puntua eskuineko erpin puntua baino txikiagoa dela kontsideratzen da, ( ordena bateragarria baturarekin), segmentuaren distantzia ez dela aldatzen kontsideratzen da ( segmentu desplazatuaren distantzia berdina dela), eta bada hirugarren bat beharrezkoa dena: bi segmentu erpinez erpin elkartzearen poderioz beste segmentu bat egiten denean, bi segmentu hauek lerro zuzenean kokatzen direla kontsideratzen da ( segmentu baturaren distantzia, segmentu distantzien batura dela).

Axioma horietan oinarritutako gorputz ordenatu metrikoa espazio euklidearra izendatu da. Espazio euklidearrik txikiena zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu metrikoa da, zeina zuzen euklidear batean posizio arrazionalean dauden puntuekin konpara daiteken.

Espazio euklidearrik txikiena trinkotu eta osatzen denean, zenbaki errealen isomorfismo isometriko ordenatu bat egiteko, beharrezkoa da, espazio trinkotu eta osatuak izaera euklidearra mantentzea. Honela zenbaki errealen isomorfismo isometriko ordenatu bat egiteko, beharrezko axiomak dira: espazio euklidear bat izatea eta bere azpigorputz txikienarekiko trinkoa eta osatua izatea.

Unitate honetan lehenik, zenbaki arrazionalak karakterizatuko dira modu axiomatikoan. Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu metrikoa, espazio euklidearrik txikiena dela frogatuko da. Espazio euklidearraren axiomak: nahikoak eta beharrekoak direla frogatuko da zenbaki arrazionalak modu bakarrean eraikitzeko.

Kontraadibide bat eraikiko da, zeinetan Espazio euklidear bat, trinkoa izango den azpi espazio euklidear txikienarekiko ( zenbaki arrazionalekiko). Espazio horretako puntuak zuzen euklidear batetako puntuekin konpara daitezke (bijekzioa), eta posizio ez arrazionaletan dauden puntuak, zenbaki arrazionalen metatze puntuak izango dira, baina Cauchyren segida guztiak ez dira konbergenteak izango metrika horretan: segida horiek zenbaki errealetan duten konbergentzia puntua, metrika horretan konbergenteak diren beste segida batzuen limiteak izango dira.

Kontraadibide honen bidez frogatzen da, azpigorputz txikienarekiko trinkoa den espazio euklidear batek, zenbaki errealen isomorfismo isometriko ordenatua izateko beste axioma bat behar duela.

Azpigorputz txikienarekiko trinkoa den espazio euklidear bat, osatua dela frogatuko da, baldin eta soilik baldin Gorenaren axioma betetzen badu.

Eta amaitzeko: azpigorputz txikienarekiko trinkoa eta osatua den espazio euklidear bat, zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa ordenatua dela frogatuko da.

Ondorengoak dira axiomak

$(E,\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ Espazio euklidearra da, baldin eta ondorengo proposizioak betetzen baditu:

1: $(E,\psi ,\phi )$ Gorputz bat da.

2: $(E,\preccurlyeq )$ Erabateko ordena da.

3: $(E,\preccurlyeq )$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentu erpinak ordena mantentzen dute desplazatzean.

$\forall x,y,z\in E;x\preccurlyeq y\Rightarrow \psi (x,z)\preccurlyeq \psi (y,z)$

4: $(E,e)$ Espazio metrikoa da.

5: $e(0,1)=1$ . Unitateko segmentuarena.

6: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentua zuzenean desplazatzean distantzia mantentzen du.

$\forall x,y,z\in E\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))$

7: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Sementuen baturaren distantzia, segmentu distantzien batura da.

$\forall x,y,z\in E;x\preccurlyeq y\preccurlyeq z\Rightarrow e(x,y)+e(x,z)=e(x,z)$

Espazio euklidear baten azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen isomorfismo isometriko ordenatua denez: $\mathbb {Q} \subset E$ , idatz daiteke orokortasuna galdu gabe.

8: $(E,e)$ Espazio metrikoa trinkoa da $(\mathbb {Q} ,e)$ rekiko. Edozein elementu, zenbaki arrazionalen limitea da.

9: $(E,e)$ Espazio metrikoa osatua dago $(\mathbb {Q} ,e)$ rekiko. Cauchyren segidek badute limitea.

Oharra: Espazio euklidear baten azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen isomorfismo isometriko ordenatua denez: $\mathbb {Q} \subset E$ , idatz daiteke orokortasuna galdu gabe. 8 eta 9 proposizioetan egin den moduan.

Ondorioak

Zenbaki errealen elementu kopurua, infinitua da eta infinitu kontagarria baino handiagoa zela frogatu zuen Cantorrek (1874). Infinitu berri hau: Continuum izendatzen da.

Infinitu kontagarria zenbaki arrunten elementu kopurua da, eta Continuuma zenbaki errealen kopurua, edo zuzen euklidearreko puntu kopurua.

Honela Cantorrek Continuumaren hipotesia ezarri zuen: Bi infinitu horien artean ezinezkoa da beste infiniturik egotea. Baina ez zuen lortu axioma bat zenik frogatzea. Hilberten 23 problemetako bat izan zen Continuumaren hipotesia.

1963. urtean Paul Cohen-ek frogatuko du, continuumaren hipotesia ezin dela ondorioztatu multzoen teoriako beste axiometatik abiatuta: (Zermelo-Fraenkel matematikariek ezarritako multzoen teoriako axiomak), eta ondorioz axioma berri bat dela.

2. Definizioak

Gorputza

$(K,+,.)$ Gorputz bat dela esaten da, ondorengo proposizioak betetzen baditu:

1: $(K,+)$ talde trukakorra da.

2:$(K-\{0\},.)$ talde trukakorra da.

3: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$, $\forall a,b,c\in K$ . Banatze legea.

Zero karakteristika

$(K,\oplus ,\odot )$ Gorputz bat zero karakteristikakoa dela esaten da: $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow n\odot e_{K}\neq 0_{k}$

$e_{K}$ eta $0_{K}$ ,biderkadurarekiko eta baturarekiko elementu neutroak dira.

Ordena

$(K,\leq )$ , Multzo ez huts batean: $K$, definitu den erlazio bitarra: $\leq$, orden erlazioa dela esaten da: erreflexiboa, antisimetrikoa eta trantsitiboa bada. Kasu horretan $K$ multzoa ordenatua dagoela esaten da.

Erreflexiboa: $\forall a\in K\Rightarrow a\leq a$

Antisimetrikoa: $a\leq b;b\leq a\Rightarrow a=b$

Trantsitiboa: $a\leq b;b\leq c\Rightarrow a\leq c$

Erabateko ordena

$(K,\leq )$ multzo ordenatua bada, orden erlazioa erabatekoa dela esaten da ondorengo proposizioa betetzen bada:

$\forall a,b\in K$, emanik ondorengo proposizioetako bat betetzen bada: $a\leq b$, edo $b\leq a$.

Kasu horretan multzoa guztiz ordenatua dagoela esaten da.

Orden bateragarria

$(K,+,\cdot ,\leq )$, $K$multzo o$(K,+,\cdot ,\leq )$, $K$multzo ordenatua bada,$(K,\leq )$ ordena,$(K,+)$ barne konposizio legearekin bateragarria dela esango dugu:

$\forall a,b,c\in K;a\leq b\Rightarrow a+c\leq b+c$

Ezaugarri arkimediarra

$(K,\leq )$ Ordenaturik dagoen multzoa bada, arkimediarra dela esaten da, ondorengo proposizioa betetzen badu:

$\forall a\in K,\exists b\in K$, non: $a\leq b$ eta $a\neq b$.

Ondorioa: Erraz ondorioztatzen da ondorengo proposizioa: Multzo ordenatu bat arkimediarra bada, guztiz ordenatua dago.

Metrika edo distantzia

$(K,d)$, eta $K\neq \emptyset$ espazio metriko bat dela esaten da baldin eta:

1: $d:K\times K\longrightarrow \mathbb {R}$, aplikazioa bada.

2: $d(a,b)\geq 0$, eta $d(a,a)=0$.

3: $d(a,b)=d(b,a)$

4: $d(a,b)\leq d(a,c)+d(b,c)$

5: $a\neq b\Rightarrow d(a,b)>0$

2, 3, 4 eta 5 erlazioak $\forall a,b,c\in K$, betetzen dira.

Ordenarekiko metrika bateragarria

$(K,+,\cdot ,\leq ,e)$ $K$gorputz ordenatu ordenatu metrikoa bada: $(K,\leq )$ ordena,$(K,e)$ espazio metrikoarekiko bateragarria dela esango dugu, baldin eta:

$\forall a,b,c\in K;a\leq b\leq c\Rightarrow e(a,b)+e(b,c)=e(a,c)$

Gorputzen arteko: isomorfismoa, isomorfismo ordenatua eta isomorfismo ordenatu isometrikoa.

Biz $(E,\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ eta $(K,+,\cdot ,\leq ,d)$, bi gorputz ordenatu metriko.

Isomorfoak direla esaten da:

1: $\exists \lambda :K_{1}\rightarrow K_{2}$, non: $\lambda$ bijektiboa.

2: $\forall x,y\in E\Rightarrow \lambda (\psi (x,y))=\lambda (x)+\lambda (y)$

3: $\forall x,y\in E-\{0_{E}\}\Rightarrow \lambda (\phi (x,y))=\lambda (x)\cdot \lambda (y)$

Hiru proposizio hauez gain ondorengo bi proposizio hauetako bakar bat betetzen bada isomorfismo ordenatu dela esaten da:

4: a) $\forall x,y\in E;x\preccurlyeq y\Rightarrow \lambda (x)\leq \lambda (y)$, ala b) $\forall x,y\in E;x\preccurlyeq y\Rightarrow \lambda (y)\leq \lambda (x)$

Lau proposizio hauez gain ondorengoa betetzen badu: isomorfismo ordenatu isometrikoa dela esaten da.

5: $\forall x,y\in E\Rightarrow e(x,y)=d(\lambda (x),\lambda (y))$

Espazio metriko trinkoa

$(X,e)$ espazio metrikoa $(K,d)$ azpiespazio metrikoarekiko trinkoa dela esaten da. ( $K\subset X;d=e\mid _{K}$ )

$\forall x\in E;\forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists k\in K;x\neq k:e(x,k)<\varepsilon$

Segida konbergenteak

$(X,d)$ espazio metrikoa eta $\phi :\mathbb {N} \rightarrow X$, aplikazioa. $\{\phi (n):n\in \mathbb {N} \}$ segida konbergentea dela esaten da, baldin eta $\exists a\in X$ ondorengo ezaugarria duena: $\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}\Rightarrow d(\phi (n),a)<\varepsilon$

Laburduraz: $\lim _{n\to \infty }\phi (n)=a$, adierazten da.

Cauchyren segidak

$(X,d)$ espazio metrikoa eta $\phi :\mathbb {N} \rightarrow X$, aplikazioa. $\{\phi (n):n\in \mathbb {N} \}$ Cauchyren segida dela esaten da. baldin eta:

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n,m\geq n_{0}\Rightarrow d(\phi (n),\phi (m))<\varepsilon$

Laburduraz: $\phi (n)=a_{n}$, eta $\{\phi (n):n\in \mathbb {N} \}=(a_{n})_{n\geq 1}$, adierazten da.

Espazio metriko osatua.

$(X,e)$ espazio metrikoa eta $(K,d)$ azpiespazio metrikoarekiko osatua dela esaten da.

$(K,d)$ espazio metrikoko Cauchyren segida guziak konbergenteak badira $(X,e)$, espazio metrikoan.

Multzo barnatuak:

$(K,d)$ espazio metrikoa bada, $A\subset K$, eta $A\neq \emptyset$. $A$ barnatua dagoela esaten da baldin eta:

$\exists x\in \mathbb {R}$ non $\forall a,b\in A\Rightarrow d(a,b)\leq x$.

Gorenaren axioma

$(K,d)$ espazio metrikoak gorenaren axioma betetzen duela esaten da baldin eta edozein azpimultzo barnatuk, gorena baldin badu. Hots:

$\emptyset \neq A\subset K$, $A\neq \emptyset$ emanik, baldin eta $\exists x\in \mathbb {R}$, non $|A|\leq x$, orduan: $\exists \alpha \in \mathbb {R}$ non:

1: Goi bornea den: $|A|\leq \alpha$

2: Goi borne txikiena den: $y\in \mathbb {R} ;|A|\leq y\Rightarrow \alpha \leq y$.

3. Espazio euklidear txikiena.

Atal honetan zenbaki arrazional ordenatu metrikoa: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ ohiko eragiketekin definitua, karakterizatuko da. Bere eraikuntzarako beharrezkoak eta nahikoak diren baldintzak definituaz. Baldintza horiek Espazio euklidear moduan definitu direnak izango dira.

Ondorengoak dira ohiko eragiketak: $\mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}:a\in \mathbb {Z} ;b\in \mathbb {N} \}$, zenbaki arrazionalen multzoa izango da.

Ohiko batura: ${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}$

Ohiko biderkadura: ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

Ohiko desberdintza: ${\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{d}}\Leftrightarrow ad\leq bc$

Metrika euklidearra: $d(x,y)=|x-y|$

3.1. Proposizioa

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ ohiko eragiketenik definitua, espazio euklidearra da.

Froga. Zailtasunik gabe frogatzen dira espazio euklidearraren proposizioak.

I: Zenbaki arrazionalen gorputza zero karakteristikako gorputz txikiena da.

3.2. Proposizioa:

Zenbaki arrazionalen gorputza $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ zero karakteristikako gorputza da.

Froga: Zenbaki arrazionalen gorputza: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ zero karakteristikakoa da:$\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow \overbrace {1+1+\cdots +1} ^{n}\neq 0$.

3.3. Proposizioa:

$\Gamma :(\mathbb {Q} ,+,\cdot )\rightarrow (K,\psi ,\phi )$ monomorfismoa bada, $K$ zero karakteristikako gorputza da.

Froga: Absurdura bideratuz $(K,\psi ,\phi )$ , n karakteristikako gorputza bada: $\phi (n,e_{K})=0_{K}$ . Honela $\Gamma (n)=\phi (n,e_{K})=0_{K}\Rightarrow n=0$ ezinezkoa.

Ondorioz gorputz bat zenbaki arrazionalen isomorfoa bada, beharrezkoa da zero karakteristikakoa izatea.

Teorema3.1: $(K,\psi ,\phi )$ zero karakteristikako gorputza bada, azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen gorputzaren isomorfoa da.

Froga:

Notazioa. $\forall n\in \mathbb {N}$-rentzat: $\psi (n\cdot e_{k},e_{k})=(n+1)\cdot e_{K}$ adieraziko da, $\psi (n\cdot {\overline {e_{K}}},{\overline {e_{K}}})=-(n+1)\cdot e_{K}$ adieraziko da, zeinetan $\psi (e_{K},{\overline {e_{K}}})=0_{K}$ , eta $0\cdot e_{K}=0_{K}$ adieraziko da. Honela azioa. $\forall n\in \mathbb {Z}$-rentzat, $n\cdot e_{K}$ adierazpenak badu zentzua. $\forall m\in \mathbb {N}$-rentzat: $m\cdot e_{K}$-ren alderantzizkoa: $\phi (m\cdot e_{K},(m\cdot e_{K})^{-1})=e_{K}$, adieraziko da. Ondorengo adierazpen orokorra ondorioztatzeko: $\forall n\in \mathbb {Z}$-rentzat, eta $\forall m\in \mathbb {N}$-rentzat, adierazpen orokorra adieraziz: ${\frac {n}{m}}\cdot e_{K}=\phi (n\cdot e_{K},(m\cdot e_{K})^{-1})$,

$Q\subset K$-ren azpigorputz txikiena bada, $\forall n\in \mathbb {Z}$-rentzat, eta $\forall m\in \mathbb {N}$-rentzat, ${\frac {n}{m}}\cdot e_{K}=\phi (n\cdot e_{K},(m\cdot e_{K})^{-1})\in Q$. Eta beraz: $Q'=\{{\frac {n}{m}}\cdot e_{K}:n\in \mathbb {Z} ;m\in \mathbb {N} \}\subset Q$,

$\forall m\in \mathbb {N}$-rentzat ondorengoa egia da: ${\frac {n}{m}}\cdot e_{K}=\phi (n\cdot e_{K},(m\cdot e_{K})^{-1})=\phi ((n\centerdot p)\cdot e_{K},((m\centerdot p)\cdot e_{K})^{-1})={\frac {n\centerdot p}{m\centerdot p}}\cdot e_{K}$

$\psi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},{\frac {c}{d}}\cdot e_{K})=\psi ({\frac {a\centerdot d}{b\centerdot d}}\cdot e_{K},{\frac {c\centerdot b}{d\centerdot b}}\cdot e_{K})=\phi (\psi (({a\centerdot d})\cdot e_{K},({c\centerdot b})\cdot e_{K}),(({b\centerdot d})\cdot e_{K})^{-1})$

$=\phi (({a\centerdot d}+{c\centerdot b})\cdot e_{K}),(({b\centerdot d})\cdot e_{K})^{-1}))={\frac {{a\centerdot d}+{c\centerdot b}}{b\centerdot d}}\cdot e_{K}\in Q'$.

Honela: ${\frac {a}{b}}\cdot e_{K}$-ren aurkakoa ${\frac {-a}{b}}\cdot e_{K}={\frac {a}{b}}\cdot {\overline {e_{K}}}\Leftrightarrow (-a)\cdot e_{K}=a\cdot {\overline {e_{K}}}\Rightarrow \psi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},{\frac {c}{d}}\cdot {\overline {e_{K}}})\in Q'$.

Ondorioz: $(Q',\psi )$ Talde egitura dauka.

$\phi (b\cdot e_{K},d\cdot e_{K})=\phi (b\cdot e_{K},\psi ((d-1)\cdot e_{K},e_{K}))=\psi (\phi (b\cdot e_{K},(d-1)\cdot e_{K}),b\cdot e_{K})=$

$\psi (\phi (b\cdot e_{K},(d-2)\cdot e_{K}),(2b)\cdot e_{K})=...=\psi (\phi (b\cdot e_{K},e_{K}),(d-1)b\cdot e_{K})=(d\centerdot b)\cdot e_{K}$, eta

$\phi (\phi ((b\cdot e_{K})^{-1},(d\cdot e_{K})^{-1}),(b\centerdot d)\cdot e_{K})=\phi (\phi ((b\cdot e_{K})^{-1},(d\cdot e_{K})^{-1}),\phi (b\cdot e_{K},d\cdot e_{K})=e_{K}$

$\Rightarrow \phi ((b\cdot e_{K})^{-1},(d\cdot e_{K})^{-1})=((b\centerdot d)\cdot e_{K})^{-1}$ .Ondorioz:

$\phi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},{\frac {c}{d}}\cdot e_{K})=\phi (\phi (a\cdot e_{K},(b\cdot e_{K})^{-1}),\phi (c\cdot e_{K},(d\cdot e_{K})^{-1})=$$\phi ((a\centerdot c)\cdot e_{K},((b\centerdot d)\cdot e_{K})^{-1})={\frac {a\centerdot c}{b\centerdot d}}\cdot e_{K}\in Q'$.

Honela: $({\frac {c}{d}}\cdot e_{K})^{-1}={\frac {d}{c}}\cdot e_{K}$, eta $\phi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},({\frac {c}{d}}\cdot e_{K})^{-1})\in Q'$. Eta beraz $(Q',\psi ,\phi )$ gorputz egitura dauka.

Ondorioz: ${\begin{cases}Q'\subset Q\\Q'Gorputza\end{cases}}\Rightarrow Q\subset Q'$, $(Q,\psi ,\phi )$ Azpigorputz txikiena aukeratu delako. Eta beraz: $Q=Q'$ .

Monomorfismoa: $\Gamma :\mathbb {Q} \rightarrow K$ , modu honetan eratzen da: $\Gamma ({\frac {n}{m}})={\frac {n}{m}}\cdot e_{K}$.

$\Gamma ({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}})={\frac {ad+bc}{bd}}\cdot e_{K}=\psi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},{\frac {c}{d}}\cdot e_{K})=\psi (\Gamma ({\frac {a}{b}}),\Gamma ({\frac {c}{d}}))$

$\Gamma ({\frac {a}{b}}\centerdot {\frac {c}{d}})={\frac {a\centerdot c}{b\centerdot d}}\cdot e_{K}=\phi ({\frac {a}{b}}\cdot e_{K},{\frac {c}{d}}\cdot e_{K})=\phi (\Gamma ({\frac {a}{b}}),\Gamma ({\frac {c}{d}}))$

Eta, ${\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\in \mathbb {Q} :\Gamma ({\frac {a}{b}})=\Gamma ({\frac {c}{d}})\Rightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$.

Honela $\Gamma :\mathbb {Q} \rightarrow K$ monomorfismoa da eta: $\Gamma :\mathbb {Q} \rightarrow \Gamma (\mathbb {Q} )=Q$, isomorfismoa.

II: Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatua: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$: guztiz ordenaturiko gorputz txikiena da zeinetan ordena bateragarria den baturarekiko.

Kontradibidea1.

Zenbaki arrazionalen gain eraiki daitezke, baturarekiko bateragarriak ez diren ordenak.

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,{\mathcal {R}})$ zenbaki arrazionalen gorputza. Eta ordena $x,y\in \mathbb {Q} ,x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow {\begin{cases}x=y\\edo\\x\leq y;y>0\end{cases}}$

Ondorioak: zenbaki arrazionalen gain definitzen den ohiko desberdintza bateragarria da baturarekiko. Honela zenbaki arrazional ordenatuen eta $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatuaren arteko isomorfismo ordenatua eraiki ahal izateko, gorputza zero karakteristikakoa izatea eta ordena baturarekiko bateragarria izatea eskatuko da.

Kontradibidea2.

Zenbaki arrazionalen gain eraiki daitezke, baturarekiko bateragarriak diren ordenak, eta arkimediarrak ez direnak.

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,{\mathcal {R}})$ zenbaki arrazionalen gorputza. Eta ordena $x,y\in \mathbb {Q} ,x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow x=y$.

Ondorioa: Zenbaki arrazional ordenatuen isomorfismo ordenatu bat eraikitzeko, $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatua izango da, zeinetan ordena bateragarria den $\psi$-rekiko, zero karakteristikako gorputza izango da, eta ordena arkimediarra izango da.

Proposizioa3.3: $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatu bateragarria bada $\psi$-rekiko, eta ordena arkimediarra bada zero karakteristikako gorputza da.

Froga.

Absurdura bideratuz suposa dezagun $charK=n\in \mathbb {N}$ dela. $\forall a\in K\Rightarrow n\cdot a=0_{k}$, $\psi (m\cdot a,a)=(m+1)\cdot a$ , notazioa erabiliz.

$0_{k}\in K$, eta $K$ arkimediarra, $\exists b\in K:b\neq 0_{K};0_{K}{\mathcal {R}}b$, eta $(K,{\mathcal {R}})$ bateragarria denez: $(K,\psi )$-rekiko, ondorengo desberdintzen segida eraiki daiteke: $0_{K}{\mathcal {R}}b{\mathcal {R}}(2\cdot b){\mathcal {R}}(3\cdot b)...{\mathcal {R}}((n-1)\cdot b){\mathcal {R}}(n\cdot b)=0_{K}$, eta beraz: $0_{K}=b$. Ezinezkoa.

Ondorioa: $charK=0$ baldintza ez da beharrezkoa.

Kontradibidea3.

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,{\mathcal {R}})$ -ren gain ordena modu honetan definitua: $x,y\in \mathbb {Q} ,x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :y=x+k-1$. Orden hau bateragarria da baturarekiko, eta arkimediarra da, baina ez da erabateko ordena.

Froga: $x,y\in \mathbb {Q} ,x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :y=x+k-1$, orden erlazioa da.

i) $\forall x\in \mathbb {Q} ,x=x+1-1\Rightarrow x{\mathcal {R}}x$. Erreflexiboa.

ii) ${\begin{cases}x{\mathcal {R}}y\Rightarrow \exists k\in \mathbb {N} :y=x+k-1\\y{\mathcal {R}}x\Rightarrow \exists q\in \mathbb {N} :x=y+q-1\end{cases}}\Rightarrow y=y+q-1+k-1\Rightarrow k+q=2;k,q\in \mathbb {N} \Rightarrow k=q=1\Rightarrow x=y$. Antisimetrikoa.

iii)${\begin{cases}x{\mathcal {R}}y\Rightarrow \exists k\in \mathbb {N} :y=x+k-1\\y{\mathcal {R}}z\Rightarrow \exists q\in \mathbb {N} :z=y+q-1\end{cases}}\Rightarrow z=x+(k+q-1)-1\Rightarrow x{\mathcal {R}}z$. Trantsitiboa.

Ordena bateragarria da baturarekiko:

$x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb {N} :y=x+k-1\Rightarrow \forall z\in \mathbb {Q} ,y+z=x+z+k-1\Rightarrow (x+z){\mathcal {R}}(y+z)$

Ordena ez da erabatekoa

$0,{\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q}$, eta ez daude ordenatuak. $\forall k\in \mathbb {N} ,{\frac {1}{2}}\neq 0+k-1$ eta $\forall k\in \mathbb {N} ,0\neq {\frac {1}{2}}+k-1$.

Ordena arkimediarra da. $\forall x\in \mathbb {Q} \Rightarrow x{\mathcal {R}}(x+1);x\neq x+1$

Ondorioa: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$-ren isomorfismo ordenatu bat eraikitzeko, ela $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputzari ondorengo baldintzak eskatuko zaizkio: Guztiz ordenatua izatea, ordena bateragarria izatea $\psi$-rekiko, eta ordena arkimediarra izatea.

Proposizioa3.4.

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputza guztiz ordenatua badago, eta ordena bateragarria bada, orduan $(K,{\mathcal {R}})$ arkimediarra da. Eta Azpigorputz txikiena $Q\subset K$ bada, $(Q,{\mathcal {R}})$ arkimediarra da.

Froga: $Q$ azpigorputz txikiena bada, $0_{K}\in Q;e_{K}\in Q-\{0_{K}\}$ , neutroa eta unitatea hurrenez hurren.

$(K,{\mathcal {R}})$ Guztiz ordenatua dagoenez: $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$ edo $e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$.

$e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}\Leftrightarrow \psi (e_{K},{\overline {e_{K}}}){\mathcal {R}}\psi (0_{K},{\overline {e_{K}}})\Leftrightarrow 0_{K}{\mathcal {R}}{\overline {e_{K}}}$. $(K,{\mathcal {R}})$ ordena bateragarria delako $(K,\psi )$ rekin.

Orduan: $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$ ematen bada: $\forall a\in K$, $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}\Rightarrow \psi (0_{K},a){\mathcal {R}}\psi (e_{K},a)$, eta $a\neq \psi (e_{K},a)$.

Eta: $e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$ ematen bada: $\forall a\in K$, $0_{K}{\mathcal {R}}{\overline {e_{K}}}\Rightarrow a=\psi (0_{K},a){\mathcal {R}}\psi ({\overline {e_{K}}},a)$, eta $a\neq \psi ({\overline {e_{K}}},a)$.

Honela: $(K,{\mathcal {R}})$ arkimediarra da. Partikularki $a\in Q$, hartzen bada, $\psi (e_{K},a),\psi ({\overline {e_{K}}},a)\in Q$, denez $(Q,{\mathcal {R}})$ arkimediarra.

Ondorioa: Zenbaki arrazional ordenatuen isomorfismo ordenatu bat eraikitzeko, $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz guztiz ordenatu bada eta bateragarria $(K,\psi )$-rekiko, ez da beharrezkoa $(K,{\mathcal {R}})$ arkimediarra izatea.

Kontradibidea4

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,{\mathcal {R}})$ -ren gain ordena modu honetan definitua: i) $x,y\in \mathbb {Q} -\{0\},x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow x\leq y$, ii) $x,y\in \mathbb {Q} -\{1\},x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow x\leq y$ eta iii) $1{\mathcal {R}}0$.

Ordenamendu hau erabatekoa da, arkimediarra ere bada, baina ez da bateragarria $(\mathbb {Q} ,+)$.

Ondorioa: Zenbaki arrazional ordenatuen isomorfismo ordenatu bat eraiki nahi bada:$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatuaren gain, beharrezkoa da ordena bateragarria izatea kontradibidea3 gatik, eta beharrezkoa da ordena erabatekoa izatea kontradibidea4 gatik.

Teorema

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatu bat non: i) $(K,{\mathcal {R}})$ Gorputza guztiz ordenatua, eta ii) $(K,{\mathcal {R}})$ ordena bateragarria bada $(K,\psi )$ barne konposizio legearekin. Orduan $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ ren azpigorputz txikiena zenbaki arrazional ordenatuen isomorfismo ordenatua da.

Froga:

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Guztiz ordenaturiko gorputza bada eta $(K,\psi )$ -rekiko bateragarria, orduan proposizioa3.4-gatik: $(K,{\mathcal {R}})$ arkimediarra da, eta partikularki azpigorputz txikienaren gain $(Q,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ arkimediarra da.Proposizioa3.3-gatik $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ zero karakteristikako gorputza da, eta Teorema3.1-engatik: azpigorputz txikiena zenbaki arrazionalen gorputzaren isomorfoa da. Isomorfismoa modu honetan ezartzen da,

$\Gamma :\mathbb {Q} \rightarrow Q$ , modu honetan eratzen da: $\Gamma ({\frac {n}{m}})={\frac {n}{m}}\cdot e_{K}$, zeinetan $Q=\{{\frac {n}{m}}\cdot e_{K}:n\in \mathbb {Z} ;m\in \mathbb {N} \}$, Teorema3.1-eko notazioa errespetatuz.

Guztiz ordenatua dagoenez: $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$ ala $e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$.

$0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$ ematen bada. $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$, $\Gamma (a){\mathcal {R}}\Gamma (b)\Leftrightarrow a\leq b$. ematen da. Ikus dezagun:

Batetik: $\forall m\in \mathbb {N} ,0_{K}{\mathcal {R}}{\frac {1}{m}}\cdot e_{K}$, betetzen da. Absurdura bideratuz: $\exists m\in \mathbb {N} ,{\frac {1}{m}}\cdot e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$ suposatzen bada guztiz ordenatua dagoelako: $e_{k}={\frac {m}{m}}\cdot e_{K}{\mathcal {R}}{\frac {m-1}{m}}\cdot e_{K}...{\frac {2}{m}}\cdot e_{K}{\mathcal {R}}{\frac {1}{m}}\cdot e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$ ondorioztatzen da, eta ezinezkoa da, $0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}$ suposatu delako.

Bestalde: $\forall m\in \mathbb {N} ,0_{K}{\mathcal {R}}{\frac {1}{m}}\cdot e_{K}$, betetzen bada Ondorengo desberdintzen segida betetzen da, ordena $(K,\psi )$ -rekiko bateragarria delako: $...({\frac {3}{m}}\cdot {\overline {e_{K}}}){\mathcal {R}}({\frac {2}{m}}\cdot {\overline {e_{K}}}){\mathcal {R}}{\overline {e_{K}}}{\mathcal {R}}0_{K}{\mathcal {R}}e_{K}{\mathcal {R}}({\frac {2}{m}}\cdot e_{K}){\mathcal {R}}({\frac {3}{m}}\cdot e_{K})...$

Eta honela ondorioztatzen da $\Gamma (a){\mathcal {R}}\Gamma (b)\Leftrightarrow a\leq b$.

$e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$ ematen bada, $\Gamma (a){\mathcal {R}}\Gamma (b)\Leftrightarrow b\leq a$. ematen da.

Batetik: $\forall m\in \mathbb {N} ,{\frac {1}{m}}\cdot e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}$ ematen da arestian bezala, eta bateragarritasuna erabiliz ondorioztatzen da ondorengo desberdintzen segida: $...({\frac {3}{m}}\cdot e_{K}){\mathcal {R}}({\frac {2}{m}}\cdot e_{K}){\mathcal {R}}e_{K}{\mathcal {R}}0_{K}{\mathcal {R}}{\overline {e_{K}}}{\mathcal {R}}({\frac {2}{m}}\cdot {\overline {e_{K}}}){\mathcal {R}}({\frac {3}{m}}\cdot {\overline {e_{K}}})...$

Eta honela ondorioztatzen da $\Gamma (a){\mathcal {R}}\Gamma (b)\Leftrightarrow b\leq a$.

Oharra: Bi ordenamendu hauek, baliokideak dira. Hots ordenamendu berdin bat sinbolo desberdin batez adieraztea da.

Definizioa:

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ Gorputz ordenatu bat non: i) $(K,{\mathcal {R}})$ Gorputza guztiz ordenatua da, eta ii) $(K,{\mathcal {R}})$ ordena bateragarria bada $(K,\psi )$ barne konposizio legearekin. Orduan $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ ren azpigorputz ordenatu txikiena bakarra da, isomorfismo ordenatuak salbu, eta zenbaki arrazional ordenatuen multzoa bezala izendatzen da.

Ondorioa:

Zenbaki arrazional ordenatuen eraikuntzarako beharrezkoak dira ondorengo axiomak:$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}})$ -ren gain.

1: $(K,\psi ,\phi )$ Gorputza da. 2:$(K,{\mathcal {R}})$ Erabateko ordena da eta 3:$(K,{\mathcal {R}})$ bateragarria da $(K,\psi )$ rekin.

Karakterizazioa:

Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatua:$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$ guztiz ordenaturiko gorputz txikiena da, zeinetan ordena bateragarria den baturarekiko.

III: Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu metrikoa: $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ espazio euklidearrik txikiena da.

Zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu metrikoa:$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$, ohiko eragiketak, ohiko desberdintza, eta distantzia euklidearra duena bezala ulertzen da:$\forall x,y\in \mathbb {Q} \Rightarrow d(x,y)=|x-y|$.

Honela, $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Gorputz ordenatu metrikoa izango da zeinetan: 1: $(K,\psi ,\phi )$ Gorputza da. 2:$(K,{\mathcal {R}})$ Erabateko ordena da 3:$(K,{\mathcal {R}})$ bateragarria da $(K,\psi )$ rekin, eta 4: $(K,e)$ espazio metrikoa da.

Kontradibidea

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$, gorputz ordenatuaren gain a:$(\mathbb {Q} ,e)$, metrika bat da:$e(x,y)={\begin{cases}0,x=y\\2,x\neq y\end{cases}}$, baina ez da euklidearra: $e(0,1)=2$.

Ondorioa

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Gorputz ordenatu metrikoari A1 axioma: $e(0,1)=1$, betetzea eskatuko zaio, zenbaki arrazional ordenatu metrikoaren isomorfismo ordenatu isometrikoa eraikitzeko.

Kontradibidea5

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$, gorputz ordenatuaren gain a:$(\mathbb {Q} ,e)$, metrika bat da:$e(x,y)={\begin{cases}0,x=y\\1,x\neq y\end{cases}}$, A1 axioma betetzen du: $e(0,1)=1$ eta A2 axioma ere betetzen du: $\forall x,y,z\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)=e(x+z,y+z)$.

Ondorioa: Metrika berriari ez diskretua izatea eskatuko zaio.

Kontradibidea6

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$ zenbaki arrazionalen gorputz ordenatua eta $(\mathbb {Q} ,e)$ honela definitua: $e(x,y)={\sqrt {|x-y|}}$

1: $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoa da. a) $e(x,y)\geq 0$, b) $e(x,y)=e(y,x)$, c) $e(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ berehalakoak dira. Ikus dezagun desberdintza triangeluarra betetzen dela: d) $\forall x,y,z\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)\leq e(x,z)+e(z,y)$

$|x-y|\leq |x-z|+|z-y|\leq |x-z|+|z-y|+2{\sqrt {|x-z|}}{\sqrt {|z-y|}}\Leftrightarrow$

$({\sqrt {|x-y|}})^{2}\leq ({\sqrt {|x-z|}}+{\sqrt {|z-y|}})^{2}\Leftrightarrow |x-y|\leq |x-z|+|z-y|$

2: $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoak A1 betetzen du: $e(0,1)={\sqrt {|0-1|}}=1$

3: $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoa bateragarria da $(\mathbb {Q} ,+)$ ekin: $\forall x,y,z\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)={\sqrt {|x-y|}}={\sqrt {|(x+z)-(y+z)|}}=e(x+z,y+z)$.

4: $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoa ez da diskretua.

5: $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoa ez da euklidearra. Metrika euklidearrak segmentu baturaren distantzia, segmentu distantzien batura bilakatzen du.

$x\leq y\leq z\Rightarrow e(x,y)+e(y,z)=e(x,z)$ . Eta kasu honetan: $1\leq 5\leq 14\Rightarrow 2+3=e(1,5)+e(5,14)\neq (1,14)={\sqrt {13}}$ .

Ondorioa: A1, A2 eta A3 proposizioak bete behar dira $(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Gorputz ordenatu metrikoan, zenbaki arrazional ordenatu metrikoaren isomorfismo ordenatu isometriko bat eraikitzeko. Ikus dezagun aipaturiko proposizioak axiomak direla.

Azken kontradibideak erakusten du, A1 eta A2-rekin ez dela A3 ondorioztatzen. Ikus dezagun A1 eta A3-rekin ez dela A2 ondorioztatzen.

kontradibidea7

$(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ zenbaki arrazionalen gorputz ordenatua eta $(\mathbb {Q} ,e)$ honela definitua: $e(x,y)={\begin{cases}|x^{2}-y^{2}|,xy\geq 0\\|x^{2}+y^{2}|,xy<0\end{cases}}$

$(\mathbb {Q} ,e)$ Metrika bat da.

1: $e:\mathbb {Q} {\text{x}}\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R}$ aplikazioa da. 2: $\forall x,y\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)\geq 0$. 3: $\forall x,y\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)=e(y,x)$. Berehalakoak dira.

4: $e(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$. Froga: $\Leftarrow$ $x=y\Rightarrow xy\geq 0\Rightarrow e(x,y)=0$ eta $\Rightarrow$ $e(x,y)=0\Rightarrow xy\geq 0\Rightarrow x^{2}=y^{2};xy\geq 0\Rightarrow x=y$. 5: desberdintza triangeluarra: $\forall x,y,z\in \mathbb {Q} \Rightarrow e(x,y)\leq e(x,z)+e(z,y)$.

5a: $xy\geq 0;x,y\geq 0;z\geq 0\Rightarrow$$e(x,y)=\mid x^{2}-y^{2}\mid \leq \mid x^{2}-z^{2}\mid +\mid z^{2}-y^{2}\mid =e(x,z)+e(z,y)$

5b: $xy\geq 0;x,y\geq 0;z\leq 0\Rightarrow$$e(x,y)=\mid x^{2}-y^{2}\mid \leq x^{2}+y^{2}\leq x^{2}+z^{2}+y^{2}+z^{2}=e(x,z)+e(y,z)$

5c: $xy\geq 0;x,y\leq 0;z\geq 0\Rightarrow$$e(x,y)=\mid x^{2}-y^{2}\mid \leq x^{2}+y^{2}\leq x^{2}+z^{2}+y^{2}+z^{2}=e(x,z)+e(y,z)$

5d: $xy\geq 0;x,y\geq 0;z\geq 0\Rightarrow$$e(x,y)=\mid x^{2}-y^{2}\mid \leq \mid x^{2}-z^{2}\mid +\mid z^{2}-y^{2}\mid =e(x,z)+e(z,y)$

5e: $xy<0;x>0;y<0;z\geq 0\Rightarrow$$e(x,y)=x^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-z^{2}=e(y,z)+x^{2}-z^{2}\leq e(y,z)+e(x,z)$

5f: $xy<0;x>0;y<0;z\leq 0\Rightarrow$$e(x,y)=x^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-z^{2}=x^{2}+z^{2}+\mid y^{2}-z^{2}\mid \leq e(y,z)+e(x,z)$

5g: $xy<0;x<0;y>0;z\geq 0\Rightarrow$$e(x,y)=x^{2}+y^{2}=x^{2}+z^{2}+y^{2}-z^{2}\leq e(y,z)+e(x,z)$

5h: $xy<0;x<0;y>0;z\leq 0\Rightarrow$$e(x,y)=x^{2}+y^{2}=x^{2}+z^{2}+y^{2}-z^{2}\leq e(y,z)+e(x,z)$.

Desberdintza triangeluarra betetzen denez, $(\mathbb {Q} ,e)$ espazio metrikoa dela ondorioztatzen da.

6: A1 Proposizioa betetzen da: $e(0,1)=\mid 1^{2}-0^{2}\mid =1$.

7: A3 Proposizioa ere betetzen da. arra: $\forall x<y<z\Rightarrow e(x,z)=e(x,y)+e(y,z)$

7a: $0\leq x<y<z\Rightarrow$$e(x,z)=\mid x^{2}-z^{2}\mid =z^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}+y^{2}-x^{2}=e(x,y)+e(y,z)$

7b: $x<0\leq y<z\Rightarrow$$e(x.z)=x^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-y^{2}=e(x,y)+e(y,z)$

7c: $x<y<0\leq z\Rightarrow$$e(x,z)=x^{2}+z^{2}=x^{2}-y^{2}+z^{2}+y^{2}=e(x,y)+e(y,z)$

7d: $x<y<z<0\Rightarrow$$e(x,z)=\mid x^{2}-z^{2}\mid =x^{2}-z^{2}=x^{2}-y^{2}+y^{2}-z^{2}=e(x,y)+e(y,z)$

Espazio metriko honek, segmentu baturaren distantzia, segmentuen distantzien batura bilakatzen du, baina ez du segmentu luzera kontserbatzen. Ikus dezagun: $e(1,2)=\mid 1^{2}-2^{2}\mid =3\neq 1=e(0,1)$.

Ondorioak.

$(K,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Gorputz ordenatu metrikoaren eta ohiko zenbaki arrazional ordenatu metrikoaren $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ arteko isomorfismo ordenatua eraikitzeko beharrezko axioma dira:$(K,{\mathcal {R}})$ Guztiz ordenatua egotea, eta ordena $(K,\psi )$-rekiko bateragarria izatea, arestian ikusi denez. Horretaz gain isomorfismo ordenatua isometria bat izateko, hiru proposizio betetzea beharrezkoa dela ikusi da: A1 proposizioa: $e(0,1)=1$, A2 proposizioa: $\forall x,y,z\in E\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))$ eta A3 proposizioa:$\forall x,y,z\in E;x{\mathcal {R}}y{\mathcal {R}}z\Rightarrow e(x,y)+e(x,z)=e(x,z)$. Kontradibideek erakusten dute proposizio horiek beharrezko axiomak direla, zenbaki arrazional ordenatu metrikoaren $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$ isomorfismo ordenatu isometrikoa eraikitzeko. Horrela ez balitz: A1 eta A2 $\Rightarrow$ A3 proposizioa ondorioztatuko lukete, eta kontradibidea6-ek hori ukatzen du, edo A1 eta A3 $\Rightarrow$ A2 ondorioztatuko lukete, eta kontradibidea7-k hori ukatzen du. Azkenik A2 eta A3 $\Rightarrow$ A1 ematea ezinezkoa da, $e(x,y)=2\mid y-x\mid$ metrikak ukatzen duenez.

Honela espazio euklidearra definituko da, $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq ,d)$-ren eraikuntzarako beharrezkoak diren axiomekin.

Definizioa: $(E,\psi ,\phi ,{\mathcal {R}},e)$ Espazio euklidearra da, baldin eta ondorengo axiomak betetzen baditu:

1: $(E,\psi ,\phi )$ Gorputz bat da.

2: $(E,{\mathcal {R}})$ Erabateko ordena da.

3: $(E,{\mathcal {R}})$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentu erpinak ordena mantentzen dute desplazatzean.

$\forall x,y,z\in E;x{\mathcal {R}}y\Rightarrow \psi (x,z){\mathcal {R}}\psi (y,z)$

4: $(E,e)$ Espazio metrikoa da.

5: $e(0,1)=1$ . Unitateko segmentuarena.

6: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Segmentua zuzenean desplazatzean distantzia mantentzen du.

$\forall x,y,z\in E\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))$

7: $(E,e)$ bateragarria da $(E,\psi )$ rekin. Sementuen baturaren distantzia, segmentu distantzien batura da.

$\forall x,y,z\in E;x{\mathcal {R}}y{\mathcal {R}}z\Rightarrow e(x,y)+e(x,z)=e(x,z)$

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

4. Zenbaki arrazionalen adierazpena zuzen euklidearrean

Zenbaki arrazionalak zuzen euklidearrean, jatorrira distantzia hori duen puntu gisara adierazten dira, zenbakia positiboa denean, eta ardatzerdi simetrikoan kokatzen da puntua zenbakia negatiboa denean.

Zenbaki arrazionalen adierazpena diogunean, zenbaki arrazional ordenatu arkimediarraren adierazpenaz mintzo gara, zeinetan unitateko distantzia, zuzen euklidearrean unitateko segmentuaren bidez adierazten den.

Lerro zuzena bertan dauden puntu guztiekiko berdina datzana da. Bi dira halako kurbak planu euklidearrean: Zirkunferentziak eta zuzenak, eta modu zorrotzean soilik zirkunferentziak (zuzena erradio infinituko zirkunferentzia moduan ikusiz).

4.1. Zenbaki osoen adierazpena zuzen euklidearrean

Plano euklidearra puntuz osatzen denez, bi puntu desberdin existitzen dira, horiek: O eta 1 izendatzen dira. lehen segmentu honen distantzia: unitatekoa dela ezartzen da: $d(0,1)=1$

Euklidesen, lehen axiomagatik bi puntu lotzen dituen lerro zuzena marraztu daiteke, eta bigarren axiomagatik zuzen finitu bat etengabe luza daiteke lerro zuzenean. Lerro zuzenaren ertzak puntu bat determinatzen dutenez, jatorrira distantzia arrunta duten puntu multzo bat ordenatzen joango gara, (ezkerrekoak txikiagoak izanik). Distantzien arteko batura ohiko batura denez, modu bakarrean determinatzen da, eraztun ordenatu arkimediar txikiena. Zeinetan puntu bati dagokion zenbakia jatorrira duen distantzia den, eta ardatzerdi simetrikoan kokatzen bada, puntu hori zenbaki arrunt negatiboarekin adieraziko da.

Zenbaki osoen adierazpena zuzen euklidearrean

4.2. Proposizioa:

$d:\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}$, aplikazioak distantzia bat definitzen du.

$d(n,m)={\begin{cases}n-m,&m\leq n{\text{ bada}}\\m-n,&n\leq m{\text{ bada}}\end{cases}}$, distantzia bat da.

Froga: Erraz frogatzen dira , distantziaren 4 proposizioak.

Oharra: Distantzia hau distantzia euklidearra izendatzen da, distantziariburuz dugun ezagutza konbentzionala delako.

4.3. Zenbaki arrazionalen adierazpena zuzen euklidearrean

Prozedura euklidearrak erabiliz, distantzia arrazionaleko segmentuak eraiki daitezke. Distantzia arrazionalen arteko batura, zenbaki arrazionalen ohiko batura da, eta horrek modu bakarrean determinatzen du zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu arkimediarra.

Ohiko distantzia, ohiko ordenaren bidez eratzen da, eta ohiko ordena: gorputz ordenatu arkimediar txikienak, berez definitua daukanez, inongo axiomaren beharrik gabe sortzen da ohiko distantzia.

Honela zenbaki arrazionalak unitatearekiko posizio arrazionalean dauden puntu gisara adieraz daitezke.

4.4. Distantzia arrazionalen eraikuntza

Distantzia arrazionaleko distantziak eraiki daitezke, euklidesen axiomak jarraituz. Euklidesen triangeluen: hirugarren karakterizazioagatik, bi triangeluk bi angelu berdin, eta angelu hauek lotzen dituen segmentua berdina badute, bi triangelu hauek berdinak dira.

Adibidea: ${\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}$ distantziak eraikiko dira prozedura euklidearrak jarraituz. Gainerako distantzia arrazionalentzat ere antzeko prozedura jarrai daiteke.

Distantzia arrazionalen eraikuntza, axioma euklidearrak jarraituz.

O, eta 1 puntuak emanik, O,1 Zuzenarekiko paraleloa ez den zuzen baten gain, hiru (izendatzailea hiru delako) aldiz d distantziadun segmentuak marrazten dira: A,B,C puntuak sortuz.

C puntutik 1 puntura zuzen bat bat marrazten da: r, eta bere zuzen paraleloak eraikitzen dira: A eta B puntuetatik pasatzen direnak: t eta s.

r, t eta s zuzenak paraleloak izateagatik: OC1, OBE, eta OAD angeluak berdinak dira.

A eta B puntuetatik: O,1 puntuetatik pasatzen den zuzenaren paraleloak eraikitzen dira: v eta u.

v eta u paraleloak izateagatik: 1OC,vAC eta uBC angeluak berdinak dira. Honela irudiko hiru triangelu horiek bi angelu berdin eta angelu horiek lotzen dituen distantzia berdinak dituzte. Euklidesen triangeluen hirugarren karakterizazioagatik, halako triangelua bakarra da. Honela beraien elementuak berdinak dituzte, eta ondorioz oinarri berdinekoak dira.

$d(0,D)=d(D,E)=d(E,1)$, hiruen batura unitatea denez: $d(0,D)={\frac {1}{3}}$, eta $d(0,E)={\frac {2}{3}}$Honela distantzia arrazionaleko segmentuaren ertzak determinatzen duen puntua, zenbaki arrazional horren bidez adieraziko da, eta puntua ardatzerdi simetrikoan badago zenbaki arrazional negatiboz adieraziko da.

4.5. Proposizioa

$d:\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} ^{+}\cup \{0\}$, aplikazioa distantzia bat da, zeinetan:

$d(p,q)={\begin{cases}p-q,&q\leq p{\text{ bada}}\\q-p,&p\leq q{\text{ bada}}\end{cases}}$

Froga: ez du zailtasunik.

Oharra: Azken proposizio honetan definitu den distantzia, distantzia euklidear moduan izendatzen da, distantziari buruz dugun ulermen konbentzionala delako.

Zenbaki arrazionalen gain ohiko distantzia definitzeko, ez dugu axiomarik behar, ohiko ordenaren bidez ezartzen bai da, eta gorputz ordenatu arkimediar batek modu bakarrean karakterizatzen du ordena.

5. Zenbaki errealak: Cantor

5.1. Sarrera

Zuzen euklidearrean unitateko segmentuarekiko posizio arrazionalean dauden puntuak, zenbaki arrazionalez izendatu dira. Honetarako zenbaki osoen gain definitutako distantzia hedatu egin da zenbaki arrazionaletara. Distantzia hau, distantzia euklidear moduan ezagutzen da.

Zuzen euklidearrean posizio ez arrazionaletan dauden puntuak, posizio arrazionala duten puntuetatik nahi bezain gertu daudela ulertzen da, hots: posizio ez arrazionaletako puntuak, posizio arrazionaletako puntuen: metatze puntuak direla. Zenbaki arrazionalen Cauchyen segidak, puntu ez arrazionaletan metatzen dira. Honela puntu multzo berria, Cauchyren segida arrazionalen, metatze puntuek osatuko dute: $[C(\mathbb {Q} )]$. Puntu arrazionalen gaineko distantzia (euklidearra) definitua dagoenez, distantzia honen hedapen bat egiten da puntu berrietara, osaketa deritzon prozesu baten bidez.

Osaketa prozesua: zenbaki arrazionalen multzoa trinkotzea eta trinkoketa hau osatzea da.

Trinkoketarekin: metatze puntuak, zenbaki arrazionaletatik nahi bezain gertu daudela ezartzen da, eta osaketarekin: Cauchyren segida arrazional batek determinatzen duen: metatze puntua, zenbaki arrazional horiek zuzen euklidearrean duten metatze puntuan kokatzen da.

Trinkotasunaren ondorioz eratzen den distantzia, pseudometrika bat da. Ezin da baieztatu bi puntu desberdinen arteko distantzia ez nulua denik. Osaketa beharrezkoa da metrika bat definitzeko.

Osaketaren ondorioz sortzen den zenbaki multzoa: bakarra dela ikusiko da eta distantzia arrazionala modu bakarrean hedatzen duela, modu honetan zenbaki multzo berria definituko da.

Ondorioz zenbaki multzo berria: gorputz ordenatu arkimediar txikienaren osaketa da, zeinetan osaketarako erabiltzen den distantzia: distantzia euklidearra den. Zenbaki errealen multzoa izendatuko da. .

Helburua beraz gorputz ordenatu arkimediar txikiena osatzea da.

5.2. Zenbaki arrazionalen metatze puntuen gorputza.

Zenbaki arrazional ordenatu arkimediarrak, zuzen euklidearrean posizio arrazionalean dauden puntuekin konpara daitezke, bere metatze puntuak Cauchyren segiden bidez sortzen dira. Honela zenbaki berriak Cauchyren segiden metatze puntuak izango dira.

Zenbaki arrazionalek eta bere metatze puntuek, gorputz ordenatu arkimediarra osatzen dutela suposatuko da, zeinetan batura eta biderkadura determinatu gabeak dauden. Baldintza horietan azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena edozein azpimultzo kontagarri izan daiteke, eta beraz notazioa errazte aldera azpigorputz hori limite arrazionaleko Cauchyren segidek osatzen dutela suposatuko da.

Honela barne konposizio legeak eta ordena definituak egongo dira limite arrazionaleko Cauchyren segiden gain.

Metatze puntuak eratzeko metrika bat eraikiko da, zeina zenbaki arrazionalen gain distantzia euklidearra izango den.

5.2.1. Definizioa

$\phi :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Q}$, aplikazioa Cauchyren segida dela esaten da, ondorengo proposizioa betetzen bada:

$\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n,m\geq n_{0}\Rightarrow d(\phi (n),\phi (m))<\varepsilon$

Laburduraz: $\phi (n)=a_{n}$, eta $\{\phi (n)\in \mathbb {Q} :n\in \mathbb {N} \}=(a_{n})_{n\geq 1}$, adieraziko da.

Oharra: Zenbaki errealak sortu ez direnez: $\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$.

5.2.2. Definizioa

Zenbaki arrazionalen gaineko Cauchyren segiden multzoa: $C(\mathbb {Q} )$, adieraziko da.

$C(\mathbb {Q} )=\{(a_{n})_{n\geq 1}\subset \mathbb {Q} :(a_{n})_{n\geq 1}Cauchyrena\}$.

Oharra: Zenbaki berriak Cauchyren segiden metatze puntuak izango dira, honela metatze puntu berdineko Cauchyren segidak, zenbaki bakarra determinatuko dute.

5.2.3. Proposizioa:

$C(\mathbb {Q} )$ multzoarengain ondorengo erlazioa,baliokidetasun erlazioa da:

$(a_{n})_{n\geq 1},(b_{n})_{n\geq 1}\in C(\mathbb {Q} )$, $(a_{n})_{n\geq 1}\sim (b_{n})_{n\geq 1}\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }d(a_{n},b_{n})=0$.

Froga:

1: $\forall (a_{n})_{n\geq 1}\in C(\mathbb {Q} )$ , $(a_{n})_{n\geq 1}\sim (a_{n})_{n\geq 1}\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }d(a_{n},a_{n})=0$. Erreflexiboa.

2: $(a_{n})_{n\geq 1}\sim (b_{n})_{n\geq 1}\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }d(a_{n},b_{n})=0$

$\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }d(b_{n},a_{n})=0\Leftrightarrow (a_{n})_{n\geq 1}\sim (b_{n})_{n\geq 1}$. Simetrikoa.

3:$(a_{n})_{n\geq 1}\sim (b_{n})_{n\geq 1}$, eta $(b_{n})_{n\geq 1}\sim (c_{n})_{n\geq 1}$.

Orduan: $0\leq d(a_{n},c_{n})\leq d(a_{n},b_{n})+d(b_{n},c_{n})$

$0\leq \lim _{n\to \infty }d(a_{n},c_{n})\leq \lim _{n\to \infty }d(a_{n},b_{n})+\lim _{n\to \infty }d(b_{n},c_{n})=0$

Ondorioz: $(a_{n})_{n\geq 1}\sim (c_{n})_{n\geq 1}$. Trantsitiboa.

Ondorioak:

Baliokidetasun erlazio batek, klase baliokideen partiketa osatzen du zatidura multzoan:

Klase baliokideak $[(a_{n})_{n\geq 1}]=\{(b_{n})_{n\geq 1}\in C(\mathbb {Q} ):(a_{n})_{n\geq 1}\sim (b_{n})_{n\geq 1}\}$, metatze puntu berdineko Caucyren segidak dira.

Zatidura multzoa: ${\frac {C(\mathbb {Q} )}{\sim }}=\{[(a_{n})_{n\geq 1}]:(a_{n})_{n\geq 1}\in C(\mathbb {Q} )\}$, klase baliokideen multzoa edo zenbaki berrien multzoa.

Ondorengo proposizioan metatze puntuek gorputz egitura osatzen dutela ikusiko da.

Notazioa: Ondorengo notazioa erabiliko da aurrerantzean.

Zenbaki arrazionalen gaineko Cauchyren segiden multzoa: $C(\mathbb {Q} )$ adieraziko da.

$C(\mathbb {Q} )=\{\{x_{n}:n\geq 1\}\subset \mathbb {Q} :\{x_{n}:n\geq 1\}Cauchyrena\}$

Zatidura multzoa: ${\frac {C(\mathbb {Q} )}{\sim }}=[C(\mathbb {Q} )]$, adieraziko da.

Zatidura multzoko elementuak: $[\{a_{n}:n\geq 1\}]$ adieraziko dira.

$[\{a_{n}:n\geq 1\}]=\{\{x_{n}:n\geq 1\}\in C(\mathbb {Q} ):\lim _{n\to \infty }|x_{n}-a_{n}|=0\}$

$q,q_{n}\in \mathbb {Q}$ bada $[q]=[(q,q,q,...)]=[\{q:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]$, adieraziko da.

$[q_{n}]=[(q_{n},q_{n},q_{n},...)]=[\{q_{n}:m\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]$

$\{[q_{n}]:n\geq 1\}$, $[C(\mathbb {Q} )]$-ren gaineko segida bat adieraziko du: $([q_{1}],[q_{2}],[q_{3}],...)$.

Limite arrazionaleko Cauchyren segidek osatzen duten multzoa: $[\mathbb {Q} ]=\{[q]:q\in \mathbb {Q} \}$.

Habiapuntua.

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$ Gorputz ordenatu arkimediarra dela suposatuko da, zeinetan barne konposizio legeak determinatu gabe dauden. Ondorioz azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena existitzen da, eta zenbaki arrazinal ordenatu arkimediarren isosmorfoa da. Barne konposizio legeak determinatu gabe daudenez, edozein azpimultzo kontagarri izan daiteke azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena.

Zentzu honetan eta notazioa errazte aldera, azpigorputz hau: $[\mathbb {Q} ]=\{[q]:q\in \mathbb {Q} \}$ dela suposatuko da, eta $([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$ goputz ordenatu arkimediarra, $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\leq )$ gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena dela.

5.2.5. Definizioa (Aukeraketarena)

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$ Gorputz ordenatu arkimediarra, $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\leq )$ gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena da.

Zeinetan: $\psi ([p],[q])=[p]\oplus [q]=[p+q]$ eta $\phi ([p],[q])=[p]\odot [q]=[p\cdot q]$.

Oharra: Aukeraketa egiteko nahikoak eta beharrezko dira: elementu neutroa, unitatea eta baturaren barne konposizio legea determinatzea. Ordena ezartzeko bi aukera daude, $[p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\leq q$, edo $[p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\geq q$. Bi aukerak baliokideak dira, eta beraz notazioa errezte aldera:$[p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\leq q$, suposatuko da.

Definizioan aipatu diren barne konposizo legeak, $[C(\mathbb {Q} )]$-ren gain definitutako ondorengo barne konposizo legeen laburdura dira:

$x\oplus y=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\oplus [\{y_{n}:n\geq 1\}]=[\{x_{n}+y_{n}:n\geq 1\}]$

$x\odot y=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\odot [\{y_{n}:n\geq 1\}]=[\{x_{n}\cdot y_{n}:n\geq 1\}]$,

Helburua beraz, $\psi (x,y)=x\oplus y$, eta $\phi (x,y)=x\odot y$, betetzen dela frogatzea izango da, kontutan izanik, metatze puntuak eratzeko, metrika bat eraikitzea beharrezkoa dela eta metrika hori zenbaki arrazionalen gain definitua dagoela: metrika euklidear moduan.

5.2.6. Proposizioa:

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$ Gorputz ordenatu arkimediarra bada.

1) $\forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )],\exists !z(x,y)\in [C(\mathbb {Q} )]$, non $\psi (x,y)=x\oplus z(x,y)$

2) $\forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\},\exists !w(x,y)\in [C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\}$,non $\phi (x,y)=x\odot w(x,y)$.

Froga:

Izan ere multzoen arteko ondorengo berdintzak betetzen dira:

1) $\forall x\in [C(\mathbb {Q} )],x\oplus [C(\mathbb {Q} )]=[C(\mathbb {Q} )]$

2) $\forall x\in ([C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\}),x\odot ([C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\})=([C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\})$

Ondorioz: $\psi$, eta $\phi$, baturari eta bidaerkadurari dagozkion barne konposizio legeak baldin badira.

1) $\psi (x,y)\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow \exists !z(x,y)\in [C(\mathbb {Q} )]:\psi (x,y)=x\oplus z(x,y)$

2) $\phi (x,y)\in ([C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\})\Rightarrow \exists !w(x,y)\in ([C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\}):\phi (x,y)=x\odot w(x,y)$

6. Zenbaki arrazional ordenatu arkimediarraren osaketa

6.1. Sarrera

Gorputz ordenatu arkimediar osatu batek: $F$, gorputz ordenatu arkimediar txikiena bere baitan du: $K\subset F$ . Baina gerta daiteke ertsidura: ${\overline {K}}$, bere baitan ez egotea: ${\overline {K}}\nsubseteq F$. Geroago ikusiko den kontraadibidean. Honela gorputz ordenatu arikimediar osatua diogunean, osaketa trinkoaz mintzo gara: Azpigorputz arkimediar txikiena trinkoa den gorputz ordenatu arkimediar osatua.

Baldintza horietan: ${\overline {K}}\subset F$. $F$ osatua izanagatik, ${\overline {K}}$ osatua da. Honela ${\overline {K}}$,$F$ ren azpigorputz ordenatu arkimediar osatu eta trinkorik txikiena da.

Zentzu honetan:azpigorputz ordenatu arkimediar txikienaren trinkoketa bere baitan duen gorputz ordenatu arkimediar osatu txikiena, bakarra da, eta zenbaki errealen moduan izendatuko da.

Zenbaki arrazionalen metatze puntuak Cauchyren segiden bidez eratzen dira: $[C(\mathbb {Q} )]$. Bere azpigorputz txikiena: $[\mathbb {Q} ]$ adieraziko da.

Honela habiapuntua ondorengoa da:

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$ gorputz ordenatu arkimediarra, $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ ren hedapena dela suposa daiteke.

Ordena ere zenbaki arrazionalen ohiko ordenaren hedapena dela supostuko da.

Ordena arkimediarra izateagatik, modu bakarrean defini daiteke $[\mathbb {Q} ]$-ren gaineko metrika euklidearra.

Osaketarako erabiliko den metrika ere existitzen dela suposatuko da: $([C(\mathbb {Q} )],e)$, zeina $[\mathbb {Q} ]$ren gain murrizten denean metrika euklidearra den.

Eta helburua ondorengoa da: Baldintza hauetan, ${\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]$, trinkoa izateko baldintzak ezarriko dira, eta $[C(\mathbb {Q} )]$ osatua izateko baldintzak. Baldintza horiek $[C(\mathbb {Q} )]$-ren gaineko metrika determinatuko dute: Trinkoketaren ondorioz, $[\mathbb {Q} ]$-ren gain definitutako metrika (euklidearra), $[C(\mathbb {Q} )]$-ren gain definitutako pseudometrika batetara hedatzen dela ikusiko da, eta osaketaren ondorioz metrika batetara.

Metrika honek, $[C(\mathbb {Q} )]$-ren gaineko ordena ere determinatuko du.

6.2. Proposizioa:

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarra bada, $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena dela suposa daiteke orokortasunik galdu gabe.

Froga:

$([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ gorputz ordenatu arkimediarra izateagatik, azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren isomorfoa dela frogatua dago, eta beraz azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena bezala $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ aukera daiteke.

$\psi :\mathbb {Q} \rightarrow [\mathbb {Q} ]$, zeinetan: $\psi (q)=[q]$, gorputz ordenatu arkimediarren arteko isomorfismoa da.

6.3. Proposizioa:

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$ gorputz ordenatu arkimediarra $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena bada, $\preccurlyeq$ ordenak ondoko erlazioa betetzen duela suposa daiteke orokortasunik galdu gabe.

$\forall [p],[q]\in [\mathbb {Q} ],[p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\leq q$

Froga.

6.2. proposizioagatik $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ gorputz ordenatu arkimediarra $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$en isomorfoa da, ondorioz ordena bi modutan eman daiteke:

$\forall [p],[q]\in [\mathbb {Q} ],[p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\leq q$

$\forall [p],[q]\in [\mathbb {Q} ],[p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\geq q$

Bietako edozein aukera daiteke, isomorfoak bai dira bi aukerak. Eta beraz lehena aukera daiteke.

Oharra: $[C(\mathbb {Q} )]$ multzoaren gain: ordena eta distantzia determinatu gabe daude. Zenbaki arrazionalen gaineko ordena modu bakarrean determinatzen da ( ordena arkimediarra izateagatik), eta orden honen bidez distantzia euklidearra definitu daiteke $[\mathbb {Q} ]$-ren gain.

6.4. Proposizioa:

$([\mathbb {Q} ],e)$, espazio metrikoa da. Zeinetan: $\forall [p],[q]\in [\mathbb {Q} ],e([p],[q])=d(p,q)=|p-q|$.

Froga: Zailtasun gabea.

6.5. Proposizioa.

$\psi :\mathbb {Q} \rightarrow [\mathbb {Q} ]$ egokitzapena non: $\psi (q)=[q]$ , $(\mathbb {Q} ,d)$ eta $([\mathbb {Q} ],e)$aplikazioa isometria bat da.

Froga:

$\psi$, aplikazio bijektiboa eta jarraia da (zailtasun gabea). Distantziak mantentzen ditu:

$\forall p,q\in \mathbb {Q} ,d(p,q)=|p-q|=e([p],[q])=e(\psi (p),\psi (q))$

Oharra: Isometria honen bidez: $[\mathbb {Q} ]$ multzoko zenbakiak: zuzen euklidearrean, unitateko segmentuarekiko posizio arrazionalean dauden puntu gisara adieraz daitezke.

$[\mathbb {Q} ]$multzoko elementuak zuzen euklidearrean irudika daitezke puntu gisara, distantzia erabiliz. Irudian: $d([0],[1])=1$, eta $d([0],[q])=q$.

Ondorioak:

Helburua $([\mathbb {Q} ],d)$-ren osaketa egitea da $([C(\mathbb {Q} )],e)$ ren gain. Osaketa bi pausutan emanten da: trinkoketa eta osaketa. Trinkoketarekin $[C(\mathbb {Q} )]$, dauden zenbakiak, $[\mathbb {Q} ]$-ren metatze puntuak direla ezartzen da: ${\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]$. Osaketarekin, Cauchyren segida arrazional bati dagokion zenbaki erreala, Cauchyren segida arrazionalak, zuzen euklidearrean determikionatzen duen metatze puntua dela ezartzen da.

Trinkoketarekin: $([C(\mathbb {Q} )],e)$ pseudometrika bat eraikitzen da, eta osaketarekin metrika bat.

7. Trinkotasuna

Hipotesiak: Ondorengoak dira hipotesiak unitate honetan:

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$ Gorputz ordenatu arkimediarra, $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena da, zeina zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren multzoaren isomorfoa den.

Trinkotasunarekin: ${\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]$ izatera behartzen da. Zeinetan $([\mathbb {Q} ],d)$ definituriko espazio metrikoa den, eta $([C(\mathbb {Q} )],e)$ definitzeke dagoen espazio metriko hedatua.

Zenbaki arrazionalen gain distantzia definitua dagoenez, ondorengo definizioa eman daiteke.

7.1. Definizioa

$a\in \mathbb {Q}$, eta $\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$ emanik:

$B([a],\varepsilon )=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:e(x,[a])<\varepsilon \}$.

$a$ zentruko eta $\varepsilon$ erradioko bola irekia izendatuko da.

Oharra: Kontuz hibili behar da definizioarekin, bolak zenbaki arrazionalak bere baitan ditu, baina ez arrazionalekin zer gertatzen den ez dakigu. Zenbaki ez arrazionalak, zenbaki arrazionaletatik gertu egotea nahi da, zentzu honetan.

7.2. Proposizioa: Trinkotasunarena

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \ [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[x]\in [\mathbb {Q} ]}B([x],\varepsilon )$

Oharra: Proposizio honek esaten du, arrazionalak ez diren zenbaki berriak, zenbaki arrazionaletatik nahi bezain gertu dauden, puntu gisara adieraz daitezkeela. Eta beraz osaketari zentzu euklidearra ezartzen zaio.

Trinkotasunaren proposizio hau inposatu egin da, eta beraz hipotesi moduan uzten da proposizio hori axioma bat den.

7.3. Proposizioa:

Suposa bedi $([C(\mathbb {Q} )],e)$espazio metrikoa dela, eta $([\mathbb {Q} ],d)$ren edapena dela.

Trinkotasunaren proposizioa betetzen da baldin eta soilik baldin $([C(\mathbb {Q} )],e)$ trinkoa $([\mathbb {Q} ],d)$-n.

Froga.

$\Leftarrow$ $\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$, emanik, eta $x\in [C(\mathbb {Q} )]$.

$x\in [\mathbb {Q} ]\Rightarrow x\in B(x,\varepsilon )$

$x\in C[\mathbb {Q} ]-[\mathbb {Q} ]\Rightarrow (B(x,\varepsilon )-\{x\})\cap [\mathbb {Q} ]\neq \emptyset$, trinkotasunagatik.

$\exists [q]\in [\mathbb {Q} ]:[q]\in B(x,\varepsilon )\Rightarrow e(x,[q])<\varepsilon \Rightarrow x\in B([q],\varepsilon )$.

Ondorioz: $\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \ [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[x]\in [\mathbb {Q} ]}B([x],\varepsilon )$

$\Rightarrow$$x\in [C(\mathbb {Q} )]$, eta $\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$ emanik.

$x\in [\mathbb {Q} ]\Rightarrow (B(x,\varepsilon )-\{x\})\cap [\mathbb {Q} ]\neq \emptyset$, ezaugarri arkimediarragatik.

$x\in [C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ]\Rightarrow x\in \bigcup _{y\in [\mathbb {Q} ]}B(y,\varepsilon )$, trinkotasunaren hipotesiagatik.

$\Rightarrow \exists q\in [\mathbb {Q} ]:x\in B(q,\varepsilon )\Rightarrow e(x,q)<\varepsilon \Rightarrow q\in (B(x,\varepsilon )-\{x\})\cap [\mathbb {Q} ]$

Ondorioz: $(B(x,\varepsilon )-\{x\})\cap [\mathbb {Q} ]\neq \emptyset$.

$[\mathbb {Q} ]'=[C(\mathbb {Q} )]$ ondorioztatu da. Eta definizioz: ${\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[\mathbb {Q} ]\cup [\mathbb {Q} ]'$denez.

${\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]$, ondorioztatzen da. $[\mathbb {Q} ]$ trinkoa beraz $[C(\mathbb {Q} )]$-n.

Ondorioa:Trinkotasunaren proposizioa beste axiometatik ondorioztatuko balitz, $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa trinkoa izango zatekeen $[\mathbb {Q} ]$-ren gain, eta hori ez da horrela. Honela trinkotasunaren proposizioa axioma bat da, $([C(\mathbb {Q} )],e)$ trinkoa izateko beharrezkoa (puntu arrazionalak puntu ez arrazionaletatik nahi bezain gertu egoteko beharrezkoa).

7.4. Kontraadibidea:$([C(\mathbb {Q} )],e)$, espazio metrikoa, $([\mathbb {Q} ],d)$-ren hedapena bada, $[C(\mathbb {Q} )]$, ez da beti trinkoa $[\mathbb {Q} ]$-n. Adibidez e metrika honela definitzen bada:

$x,y\in [C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ]$ eta $x=y$ bada: $e(x,y)=0$.

$x,y\in [C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ]$ eta $x\neq y$ bada: $e(x,y)=1$.

$x\in [C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ]$ eta $[q]\in [\mathbb {Q} ]$ bada: $e(x,[q])=|q|+1$.

$[p],[q]\in [\mathbb {Q} ]$bada: $e([p],[q])=d([p],[q])=|p-q|$.

Metrika honekin: ${\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[\mathbb {Q} ]$, eta beraz $[C(\mathbb {Q} )]$ ez da trinkoa $[\mathbb {Q} ]$-n.

7.5. Irudia: $[C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )$ irudikatu da.

$[C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )$, irudikatu da.

Irudia: Irudia engainagarria da, badirudi zuzen euklidearreko puntu guztiak barneratzen direla. Ez da horrela: trinkotasunaren axiomak esaten du: $[C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )$, eta beraz $[C(\mathbb {Q} )]$-ko elementu guztiak barneratzen dira, zuzen euklidearrean puntu gisara, baina ez da esaten zuzen euklidearreko puntu guztiak $[C(\mathbb {Q} )]$-ren barnean daudenik ( Beste axioma bat beharko da honetarako).

Oharra: Trinkotasunaren ondorioz: $[\mathbb {Q} ]$-n definiturik dagoen distantzia hedatu egiten da $[C(\mathbb {Q} )]$ multzora.

7.6. Habiapuntua

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metriko ezezaguna eta ondorengo ezaugarriak ditu:

1: $\forall [p],[q]\in [\mathbb {Q} ],e([p],[q])=d(p,q)=|p-q|$. Hedapenarena.

2: $\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \ [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[x]\in [\mathbb {Q} ]}B([x],\varepsilon )$. Trinkotasunarena.

7.7. Proposizioa:

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa bada, trinkoa da $([\mathbb {Q} ],e)$ espazio metrikoan.

froga: egina dago.

7.8. lema: $([C(\mathbb {Q} )],e)$, espazio metrikoa bada, ondokoa betetzen da.

$x\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} ,\exists [a_{n}]\in [\mathbb {Q} ]:\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],x)=0.$

Zeinetan: $\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],x)=0$, adierazpenak ondorengo esanahia duen:

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}\Rightarrow e([a_{n}],x)<\varepsilon$

Froga:

Trikotasunaren axiomagatik: $\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup _{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )$

$\varepsilon ={\frac {1}{n}},\exists [a_{n}]\in [\mathbb {Q} ]:x\in B([a_{n}],{\frac {1}{n}})\Rightarrow e([a_{n}],x)\leq {\frac {1}{n}}$

$\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],x)=0$. ondorioztatzen da.

Laburduraz: $\forall n\in \mathbb {N} ,\exists [a_{n}]\in [\mathbb {Q} ]:\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],x)=0$, adierazpena honela adieraziko da: $\{[a_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a_{n}]\rightarrow x$, edo beste modu honetara: $\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=x$.

7.9. Proposizioa: $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa bada: $x,y\in [C(\mathbb {Q} )]$, emanik

$\forall \{[a_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a_{n}]\rightarrow x$, eta $\forall \{[b_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[b_{n}]\rightarrow y$ rentzat, ondoko erlazioa betetzen da:

$\lim _{n\to \infty }|e(x,y)-|a_{n}-b_{n}||=0$.

Laburduraz: $e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}-b_{n}|$, adieraziko da.

Froga:

$\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$, emanik: $\varepsilon /2\in \mathbb {Q} ^{+}$.

$[a_{n}]\rightarrow x\Rightarrow \exists m_{0}\in \mathbb {N} :e(x,[a_{m}])<\varepsilon /2,\forall m\geq m_{0}$

$[b_{n}]\rightarrow x\Rightarrow \exists m_{1}\in \mathbb {N} :e(x,[b_{m}])<\varepsilon /2,\forall m\geq m_{1}$

Espazio metrikoen desberdintza triangeluarragatik: $\forall m\geq m_{2}=Max\{m_{0},m_{1}\}$

$e(x,y)\leq e(x,[a_{m}])+e([a_{m}],[b_{m}])+e([b_{m}],y)<e([a_{m}],[b_{m}])+\varepsilon$.

$e([a_{m}],[b_{m}])\leq e([a_{m}],x)+e(x,y)+e(y,[b_{m}])<e(x,y)+\varepsilon$.

Azken bi desberdintzen ondorioz:

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists m_{2}\in \mathbb {N} :|e(x,y)-d([a_{m}],[b_{m}])|<\varepsilon ,\forall m\geq m_{2}$.

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists m_{2}\in \mathbb {N} :|e(x,y)-|a_{m}-b_{m}||<\varepsilon ,\forall m\geq m_{2}$

Zeina honela adierazten den:

$\lim _{n\to \infty }|e(x,y)-|a_{n}-b_{n}||=0$.

7.10. Korolarioa:

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa bada: $x\in [C(\mathbb {Q} )]$, eta $\{[a_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a_{n}]\rightarrow x$, emanik:

$e([0],x)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}|$

Froga: 7.9. korolarioa aplikatu $x\in [C(\mathbb {Q} )]$ri.

Ondorioa: $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazioa trinkotu egin da $([\mathbb {Q} ],e)$, espazio metrikoarekiko, eta ondorioz, distantzia berriak eratu dira: $\mathbb {Q} ^{+}\cup \{0\}$ multzotik, ${\mathcal {A}}=\{\lim _{n\to \infty }e([0],[x_{n}]):[\{x_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]\}$ multzora hedatzen dira neurri berriak. Ondorengo proposizioan ikusiko da, distantzia bat osatzeko, ezaugarri bakarra falta zaiola: $[C(\mathbb {Q} )]$-ren gain, definitu den: $e$, metrikari.

7.11. Proposizioa:

$e:[C(\mathbb {Q} )]\times [C(\mathbb {Q} )]\rightarrow {\mathcal {A}}$, pseudometrika bat definitzen du.

Zeinetan: $x,y\in [C(\mathbb {Q} )]$ emanik,

$\forall \{[a_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a_{n}]\rightarrow x$, eta $\forall \{[b_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[b_{n}]\rightarrow y$

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}-b_{n}|$.

Eta: ${\mathcal {A}}=\{\lim _{n\to \infty }e([0],[x_{n}]):[\{x_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]\}$

Froga:

Frogapenean:

$\{[a_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a_{n}]\rightarrow x$,

$\{[b_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[b_{n}]\rightarrow y$

eta $\{[c_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[c_{n}]\rightarrow z$.

1: $e:[C(\mathbb {Q} )]\times [C(\mathbb {Q} )]\rightarrow {\mathcal {A}}$ aplikazio bat da.

i)$[a_{n}]\rightarrow x$ eta $[b_{n}]\rightarrow y$, orduan: $[\{|a_{n}-b_{n}|:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]$,

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}-b_{n}|=\lim _{n\to \infty }e([0],[a_{n}-b_{n}])$, ondorioz: $e(x,y)\in {\mathcal {A}}$

ii) $x=x';y=y'.$ Biz: $[a_{n}]\rightarrow x$, $[a'_{n}]\rightarrow x'$, $[b_{n}]\rightarrow y$ eta $[b'_{n}]\rightarrow y'$.

$x=x';y=y'.$Izateagatik, $\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$emanik $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}$

$|a_{n}-b_{n}|\leq |a_{n}-a'_{n}|+|a'_{n}-b'_{n}|+|b'_{n}-b_{n}|<|a'_{n}-b'_{n}|+\varepsilon$

$|a'_{n}-b'_{n}|\leq |a'_{n}-a_{n}|+|a_{n}-b_{n}|+|b_{n}-b'_{n}|<|a_{n}-b_{n}|+\varepsilon$

Ondorioz:$\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$ emanik $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}$ zeinetan:

$||a_{n}-b_{n}|-|a'_{n}-b'_{n}||<\varepsilon$, eta beraz:

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}-b_{n}|=\lim _{n\to \infty }|a'_{n}-b'_{n}|=e(x',y')$

Ondorioz: $e:[C(\mathbb {Q} )]\times [C(\mathbb {Q} )]\rightarrow {\mathcal {A}}$, aplikazioa da.

1: $x=y\Rightarrow e(x,y)=0$.

Izan ere: $[a_{n}]\rightarrow x=y$, orduan: $e(x,y)=e(x,x)=\lim _{n\to \infty }|a_{n}-a_{n}|=0$

2: $e(x,y)=e(y,x)$. Berealakoa da.

3: $e(x,y)\leq e(x,z)+e(z,y)$

Hots: $\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow e(x,y)<e(x,z)+e(z,y)+\varepsilon$

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow {\frac {\varepsilon }{3}}\in \mathbb {Q} ^{+}$, $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}$

$e(x,y)<e([a_{n}],[b_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}$, $e([a_{n}],[c_{n}])<e(x,z)+{\frac {\varepsilon }{3}}$,

eta $e([c_{n}],[b_{n}])<e(z,y)+{\frac {\varepsilon }{3}}$desberdinatzak betetzen dira definizioz:

$e(x,y)<e([a_{n}],[b_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}\leq e([a_{n}],[c_{n}])+e([c_{n}],[b_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}$

$e([a_{n}],[c_{n}])+e([c_{n}],[b_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}<e(x,z)+e(z,y)+\varepsilon$

Desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.

Ondorioa:

Zenbaki arrazionalen metatze puntuen ondorioz sortzen den gorputz berria trinkoa izateko axioma bat ezarri behar da. Axioma honen bidez, pseudometrika bat eratzen da. Honela bi puntu desberdinen arteko distantzia nulua izan daiteke.

Metatze puntuen gain metrika bat eraikitzen bada, zeinaren bidez metatze puntuen gorputza trinkoa den zenbaki arrazionalen gain, ezin da zihurtatu gorputza osatua denik, ez eta distantzien arteko kontserbazioa beteko denik ere.

7.12. proposizioa. Kontraadibidea.

$([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ modu honetan definitua:

$a\oplus b=[\{a_{n}:n\geq 1\}]\oplus [\{b_{n}:n\geq 1\}]=[\{a_{n}+b_{n}:n\geq 1\}]$

$a\odot b=[\{a_{n}:n\geq 1\}]\odot [\{b_{n}:n\geq 1\}]=[\{a_{n}\cdot b_{n}:n\geq 1\}]$

Eta ordena: $a\preccurlyeq b\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$.

${\mathcal {A}}=\{{\sqrt {2}}+k:k\in \mathbb {N} \cup \{0\}\}$

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa modu honetan definitua:

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|$. $x,y\in {\mathcal {A}}$ bada.

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|$. $x,y\notin {\mathcal {A}}$

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|1+x_{n}-y_{n}|$, $x\in {\mathcal {A}};y\notin {\mathcal {A}}$

Adibide honetan definitutako kontzeptuek ondorengo ezaugarriak dituzte:

1: $([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ Gorputz ordentatu arkimediarra da.

2: $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa da, eta zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren hedapena da.

3: $([C(\mathbb {Q} )],e)$ trinkoa da $([\mathbb {Q} ],e)$espazio euklidearraren gain.${\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]$.

4: $([C(\mathbb {Q} )],e)$ ez da osatua.

5: $([C(\mathbb {Q} )],e)$-k ez ditu distantziak kontserbatzen.

Kontserbazioa: $\forall x,y,z\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow e(x,y)=e(x\oplus z,y\oplus z)$

Froga: Limitearen notazioaz abusatu den arren: Batura, biderkadura eta ordena zenbaki errealen gisara ezartzen dira, eta beraz zentzu zorrotzean ondo daude. Baina distantziak ez.

${\sqrt {2}}=[\{({\sqrt {2}})_{n}:n\geq 1\}]$, ondorengo zenbakia dugu, zeinetan: $({\sqrt {2}})_{n}$, zenbaki arrazionalen segida konbergentea den ${\sqrt {2}}$-ra, zenbaki errealen multzoan ohiko metrikarekin.

Ikus dezagun trinkoa dela.

$x\in [C(\mathbb {Q} )]-{\mathcal {A}}\Rightarrow$

$x=[\{x_{n}\in \mathbb {Q} :n\geq 1\}]$, eta $e([x_{m}],x)=\lim _{n\to \infty }|x_{m}-x_{n}|$, zeinetan $\{x_{n}\in \mathbb {Q} :n\geq 1\}$, Cauchyrena izateagatik ezereztatzen den: $\lim _{n\to \infty }e([x_{n}],x)=0$.

$x\in {\mathcal {A}}\Rightarrow$ $\exists k\in \mathbb {N} \cup \{0\}:x={\sqrt {2}}\oplus [k]$

Orduan: $\{[({\sqrt {2}})_{n}+k+1]:n\geq 1\}]\subset [\mathbb {Q} ]$, Cauchyren segida bat da:

$e([({\sqrt {2}})_{n}+k+1],[({\sqrt {2}})_{m}+k+1])=|({\sqrt {2}})_{n}+k+1-(({\sqrt {2}})_{m}+k+1)|=|({\sqrt {2}})_{n}-({\sqrt {2}})_{m}|$

Eta $x={\sqrt {2}}\oplus [k]$, zenbakira konbergitzen du: $x={\sqrt {2}}\oplus [k]=[\{({\sqrt {2}})_{n}+k:n\geq 1\}]$

$e([({\sqrt {2}})_{m}+k+1],{\sqrt {2}}\oplus [k])=\lim _{n\to \infty }e([({\sqrt {2}})_{m}+k+1],[({\sqrt {2}})_{n}+k+1)])=$

$=\lim _{n\to \infty }|({\sqrt {2}})_{m}-({\sqrt {2}})_{n}|$

Ondorioz: ${\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]$

Ikus dezagun $([C(\mathbb {Q} )],e)$ ez dela osatua.

${\sqrt {2}}=[\{({\sqrt {2}})_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]$, eta beraz: $\{[({\sqrt {2}})_{n}]:n\geq 1\}$ Caucyrena $[\mathbb {Q} ]$-ren gain.

Absurdura bideratuz, suposa bedi baduela limitea:

Ondorioz: $\exists \alpha \in [C(\mathbb {Q} )]$, non: $\lim _{n\to \infty }e([({\sqrt {2}})_{n}],\alpha )=0$.

Zeinetan $\alpha =[\{(\alpha _{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]$ notazioz.

Baldin eta, $\alpha \notin {\mathcal {A}}\Rightarrow$

$e([({\sqrt {2}})_{m}],\alpha )=\lim _{n\to \infty }e([({\sqrt {2}})_{m}],[\alpha _{n}])=\lim _{n\to \infty }|({\sqrt {2}})_{m}-\alpha _{n}|$

Ondorioz: $\{[({\sqrt {2}})_{n}]:n\geq 1\}$ eta $\{[\alpha _{n}]:n\geq 1\}$Caucyren segida baliokideak dira:

.$\alpha ={\sqrt {2}}\in {\mathcal {A}}$, ezinezkoa.

Baldin eta, $\alpha \in {\mathcal {A}}\Rightarrow$$\exists k\in \mathbb {N} \cup \{0\}:\alpha ={\sqrt {2}}\oplus [k]$

$e([({\sqrt {2}})_{m}],\alpha )=\lim _{n\to \infty }e([({\sqrt {2}})_{m}],[\alpha _{n}])=\lim _{n\to \infty }|({\sqrt {2}})_{m}-(\alpha _{n}+1)|=$

$=\lim _{n\to \infty }|({\sqrt {2}})_{m}-({\sqrt {2}})_{n}-k-1|\geq |k+1|\geq 1$, ezinezkoa.

Ondorioz: $\{[({\sqrt {2}})_{n}]:n\geq 1\}$ Cauchyren segidak ez du limiterik $[C(\mathbb {Q} )]$.

Ikus dezagun $([C(\mathbb {Q} )],e)$ ez dituela distantziak kontserbatzen.

$e({\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\oplus [{\frac {1}{4}}])=\lim _{n\to \infty }|({\sqrt {2}})_{n}+1-({\sqrt {2}})_{n}-{\frac {1}{4}}|={\frac {3}{4}}$

$e({\sqrt {2}}\oplus [{\frac {1}{4}}],{\sqrt {2}}\oplus [{\frac {2}{4}}])=\lim _{n\to \infty }|({\sqrt {2}})_{n}+{\frac {1}{4}}-({\sqrt {2}})_{n}-{\frac {2}{4}}|={\frac {1}{4}}$

Ondorioa:

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$gorputz arkimediar osatua,$([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ edapena izanik, eta $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain, orduan ere ezin da baieztatu $([C(\mathbb {Q} )],e)$ osatua denik, ez eta $([C(\mathbb {Q} )],e)$-k distantziak kontserbatzen dituenik.

Unitateari amaiera emateko korolario bat frogatuko da. $[C(\mathbb {Q} )]$ multzoko edozein elementurentzat, existitzen direla zenbaki horretara konbergitzen duten segida arrazional gorakorrak eta beherakorrak.

Zenbaki errealen multzoan nabaria den emaitza honek, baditu bere zailtasunak: ordena eta metrika soilik zenbaki arrazionalen gain definituak daudelako.7.8. Proposizioan frogatu da, edozein zenbakitara zenbaki arrazionalen bidez hurbil gaitezkeela.

7.13. Proposizioa

$\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=\alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])$, bada, ondorengo emaitza ematen da:

$p\in \mathbb {N}$, emanik $\exists n_{p}\in \mathbb {N}$, zeinetan:$\forall n\geq n_{p}\Rightarrow [a_{n}]\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

Froga:

$\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=\alpha$, ematen denez, $\{[a_{n}]:n\geq 1\}$, Cauchyrena da.

$p\in \mathbb {N}$, emanik: $\varepsilon ={\frac {1}{p}}$, harturik: $\exists n_{p}\in \mathbb {N}$: $\forall n,m\geq n_{p}\Rightarrow e([a_{n}],[a_{m}])<{\frac {1}{p}}$

$m=n_{p}$, aukeratuz: $\forall n\geq n_{p}\Rightarrow e([a_{n}],[a_{n_{p}}])<{\frac {1}{p}}$

$\exists n_{p}\in \mathbb {N}$, non: $\forall n\geq n_{p}\Rightarrow [a_{n}]\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$.

7.14. Proposizioa

$\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=\alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])$ , bada, ondorengo emaitza ematen da:

$p\in \mathbb {N}$, emanik $\exists n_{p}\in \mathbb {N}$, zeinetan:

1) $\forall n\geq n_{p}\Rightarrow [a_{n}]\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

2) $\alpha \in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

Oharra: Zenbaki irrazionala $\alpha \in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$, ez du esan nahi ordenarekiko, bolan dagoenik.

Froga:

1) Atala, 7.13. proposizioan frogatu da, ikus dezagun $n_{p}$, aukera daitekeela 2. baldintza bete dezan.

$e(\alpha ,[a_{n_{p}}])\leq e(\alpha ,[a_{n}])+e([a_{n}],[a_{n_{p}}])$, $\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=\alpha$ eta $n\geq n_{p}$, aukeratuz.

$e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<e(\alpha ,[a_{n}])+{\frac {1}{p}}$, eta $\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],\alpha )=0$.

Ondorioz: $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])\leq {\frac {1}{p}}$., ondorioz: $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<{\frac {1}{p}}$, ala $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])={\frac {1}{p}}$.

$\forall m\in \mathbb {N} \Rightarrow n_{p}+m\geq n_{p}$, Argudio hau: $[a_{n_{p}+m}]$, elementuarengain aplika daiteke:

Ondorioz: $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])\leq {\frac {1}{p}}$, eta $\forall m\in \mathbb {N}$, $e(\alpha ,[a_{n_{p}+m}])\leq {\frac {1}{p}}$

i) $\exists m_{0}\in \mathbb {N} :[a_{n_{p}}]\neq [a_{n_{p}+m_{0}}]$, absurdura bideratuz

$\forall m\in \mathbb {N} :[a_{n_{p}}]=[a_{n_{p}+m}]\Rightarrow \lim _{n\to \infty }[a_{n}]=[a_{n_{p}}]\in [\mathbb {Q} ]$, ezinezkoa.

ii) $a_{n_{p}}<a_{n_{p}+m_{0}}$, ematen bada, eta $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])=e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])={\frac {1}{p}}$.

$\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow 0<a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}=a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n}+a_{n}-a_{n_{p}}$

$e(\alpha ,[a_{n_{p}}])=e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])={\frac {1}{p}}$ ematen denez.

$e(\alpha ,[a_{n_{p}}])=\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],[a_{n_{p}}])={\frac {1}{p}}$, eta $e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])=\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],[a_{n_{p}+m_{0}}])={\frac {1}{p}}$.

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}$

${\begin{cases}|a_{n}-a_{n_{p}}|\in ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\\|a_{n}-a_{n_{p}+m_{0}}|\in ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\end{cases}}$

Baldin eta soilik baldin:

${\begin{cases}a_{n}-a_{n_{p}}\in (-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\cup ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\\a_{n}-a_{n_{p}+m_{0}}\in (-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\cup ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\end{cases}}$

Baldin eta soilik baldin:

$a_{n_{p}},a_{n_{p}+m_{0}}\in (a_{n}-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,a_{n}-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\cup (a_{n}+{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,a_{n}+{\frac {1}{p}}+\varepsilon )$

$a_{n_{p}}<a_{n_{p}+m_{0}}$, ematen denez: $\forall \varepsilon \leq {\frac {a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}}{2}}\in \mathbb {Q} ^{+}$

${\begin{cases}a_{n}-a_{n_{p}}\in ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\\a_{n}-a_{n_{p}+m_{0}}\in (-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\end{cases}}$

Eta $\forall \varepsilon \leq Min\{{\frac {a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}}{2}},{\frac {1}{p}}\}\in \mathbb {Q} ^{+}$, aukeratuz:

$\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow {\begin{cases}a_{n}-a_{n_{p}}>0\\a_{n}-a_{n_{p}+m_{0}}<0\end{cases}}$

Ondorioz: $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow 0<a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}=(a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n})+(a_{n}-a_{n_{p}})$

Eta: $e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])=\lim _{n\to \infty }e([a_{n}],[a_{n_{p}+m_{0}}])={\frac {1}{p}}$

Honela: $\exists n\in \mathbb {N} :0<a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}=(a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n})+(a_{n}-a_{n_{p}})>{\frac {1}{p}}$

$e([a_{n_{p}}],[a_{n_{p}+m_{0}}])=a_{n_{p}+m_{0}}-a_{n_{p}}>{\frac {1}{p}}$, ezinezkoa.

iii) Modu berean argudiatuz:

$a_{n_{p}}>a_{n_{p}+m_{0}}$, eta $e(\alpha ,[a_{n_{p}}])=e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])={\frac {1}{p}}$ ezinezkoa da.

Zenbaki arrazionalak ordenatuak daudenez:

$e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<{\frac {1}{p}}$, edo $e(\alpha ,[a_{n_{p}+m_{0}}])<{\frac {1}{p}}$

Ondorioz:$\exists m_{p}\in \mathbb {N}$: $m_{p}=n_{p}$, edo $m_{p}=n_{p+m_{0}}$, kasurako: $e(\alpha ,[a_{m_{p}}])<{\frac {1}{p}}$

1) $\forall n\geq m_{p}\Rightarrow [a_{n}]\in B([a_{m_{p}}],{\frac {1}{p}})$

2) $\alpha \in B([a_{m_{p}}],{\frac {1}{p}})$

7.15. Teorema:

$\lim _{n\to \infty }[a_{n}]=\alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])$ ematen bada.

$\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+};\forall {\frac {1}{p}}<{\frac {\varepsilon }{2}},\exists n_{p}\in \mathbb {N} ;\exists \varepsilon _{p}\in \mathbb {Q} ^{+}:\forall n\geq n_{p}$

i) $\alpha ,[a_{n}]\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

ii) $B(\alpha ,\varepsilon _{p})\subset B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})\subset B(\alpha ,\varepsilon )$

Froga:

$\varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}$, emanik eta: ${\frac {1}{p}}<{\frac {\varepsilon }{2}}$ aukeraturik,

7.14. Proposizioagatik: $\exists n_{p}\in \mathbb {N}$, zeinetan:$\forall n\geq n_{p}$

1) $\alpha ,[a_{n}]\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

2)$B(\alpha ,\varepsilon _{p})\subset B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})\subset B(\alpha ,\varepsilon )$, frogatzeko:

$\alpha \in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})\Rightarrow e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<{\frac {1}{p}}\Rightarrow {\frac {1}{p}}-e(\alpha ,[a_{n_{p}}])>0$

Honela: $\exists \varepsilon _{p}\in \mathbb {Q} ^{+};\varepsilon _{p}<{\frac {1}{p}}-e(\alpha ,[a_{n_{p}}])$, ezaugarri arkimediarragatik.

$x\in B(\alpha ,\varepsilon _{p})\Rightarrow e(\alpha ,x)<\varepsilon _{p}$ bada

$e(x,[a_{n_{p}}])\leq e(\alpha ,x)+e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<\varepsilon _{p}+e(\alpha ,[a_{n_{p}}])<{\frac {1}{p}}$

$\Rightarrow x\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$, eta beraz: $B(\alpha ,\varepsilon _{p})\subset B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})$

$x\in B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})\Rightarrow e([a_{n_{p}}],x)<{\frac {1}{p}}$

$e(\alpha ,x)\leq e(\alpha ,[a_{n_{p}}])+e([a_{n_{p}}],x)<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p}}={\frac {2}{p}}<\varepsilon$

$\Rightarrow x\in B(\alpha ,\varepsilon )$, eta beraz: $B([a_{n_{p}}],{\frac {1}{p}})\subset B(\alpha ,\varepsilon )$

7.16 Korolarioa

$\alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])\Rightarrow \exists [a_{n}]\uparrow \alpha ;\exists [b_{n}]\downarrow \alpha$

Froga:

Trinkotasunagatik $\exists [c_{n}]\rightarrow \alpha$

$\varepsilon _{0}=1\in \mathbb {Q} ^{+};p_{1}=3$ ri, 7.15 teorema aplikatuz:

$\exists n_{1}\in \mathbb {N} ;\exists \varepsilon _{1}\in \mathbb {Q} ^{+}:\forall n\geq n_{1}$

i) $\alpha ,[c_{n}]\in B([c_{n_{1}}],{\frac {1}{3}})$

ii) $B(\alpha ,\varepsilon _{1})\subset B([c_{n_{1}}],{\frac {1}{3}})\subset B(\alpha ,1)$

$a_{1}=c_{n_{1}}-{\frac {1}{p_{1}}};b_{1}=c_{n_{1}}+{\frac {1}{p_{1}}}$ aukeratzen dira.

Eta berriro ere, $\varepsilon _{1}\in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \exists {\frac {1}{p_{2}}}<{\frac {\varepsilon _{1}}{2}}$, aurreko teorema aplikatuz:

$\exists n_{2}\in \mathbb {N} ;n_{2}>n_{1};\exists \varepsilon _{2}\in \mathbb {Q} ^{+}:\forall n\geq n_{2}$

i) $\alpha ,[c_{n}]\in B([c_{n_{2}}],{\frac {1}{p_{2}}})$

ii) $B(\alpha ,\varepsilon _{2})\subset B([c_{n_{2}}],{\frac {1}{p_{2}}})\subset B(\alpha ,\varepsilon _{1})$

Eta $a_{2}=c_{n_{2}}-{\frac {1}{p_{2}}};b_{2}=c_{n_{2}}+{\frac {1}{p_{2}}}$, aukeratzen dira.

Eta berriro ere: $\varepsilon _{2}\in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \exists {\frac {1}{p_{3}}}<{\frac {\varepsilon _{2}}{2}}$, teorema aplika daiteke.

....

Errekurrentziz ondorengo segida eraikitzen da:

$a_{k}=c_{n_{k}}-{\frac {1}{p_{k}}};b_{k}=c_{n_{k}}+{\frac {1}{p_{k}}}$, zeinetan:

$B([c_{n_{k+1}}],{\frac {1}{p_{k+1}}})\subset B(\alpha ,\varepsilon _{k+1})\subset B([c_{n_{k}}],{\frac {1}{p_{k}}})$

Ondorioz:

$a_{k}=c_{n_{k}}-{\frac {1}{p_{k}}}\leq a_{k+1}=c_{n_{k+1}}-{\frac {1}{p_{k+1}}}$ $\Rightarrow [a_{n}]\uparrow$

$b_{k}=c_{n_{k}}+{\frac {1}{p_{k}}}\geq b_{k+1}=c_{n_{k+1}}+{\frac {1}{p_{k+1}}}$$\Rightarrow [b_{n}]\downarrow$

Gainera: $p_{1}<p_{2}<p_{3}<...<p_{n}<...$ eta ondorioz:

$e(\alpha ,[a_{k}])=e(\alpha ,[c_{n_{k}}-{\frac {1}{p_{k}}}])\leq e(\alpha ,[c_{n_{k}}])+e([c_{n_{k}}],[c_{n_{k}}-{\frac {1}{p_{k}}}])$

$\alpha \in B([c_{n_{k}}],{\frac {1}{p_{k}}})\Rightarrow e([c_{n_{k}}],\alpha )<{\frac {1}{p_{k}}}$

Eta beraz: $e(\alpha ,[a_{k}])<{\frac {2}{p_{k}}}\Rightarrow [a_{n}]\uparrow \alpha$

$e(\alpha ,[b_{k}])=e(\alpha ,[c_{n_{k}}+{\frac {1}{p_{k}}}])\leq e(\alpha ,[c_{n_{k}}])+e([c_{n_{k}}],[c_{n_{k}}+{\frac {1}{p_{k}}}])$

$\alpha \in B([c_{n_{k}}],{\frac {1}{p_{k}}})\Rightarrow e([c_{n_{k}}],\alpha )<{\frac {1}{p_{k}}}$

$e(\alpha ,[b_{k}])<{\frac {2}{p_{k}}}\Rightarrow [b_{n}]\downarrow \alpha$

$B(\alpha ,\varepsilon _{k+1})\subset B([c_{n_{k}}],{\frac {1}{p_{k}}})$, irudikatu da

Oharra: Irudian $\alpha \in B(\alpha ,\varepsilon )\subset B([q],{\frac {1}{p}})$, irudikatu da, eta kontuz ibili behar da, zeren geroago ikusiko den kontraadibidean $[C(\mathbb {Q} )]$-ko elementuak ordenarekiko irudikatzen badira zuzen euklidearrean, behar bada, $\alpha \in ([C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])$, ez da egongo irudikatu den bolaren barnean, naiz eta bolan dauden elementu arrazionalekiko gertu egon.

8. Osaketa

Osaketarekin axioma berri bat txertatzen da, $[\mathbb {Q} ]$ren gain definitutako Cauchyren segidak konbergenteak direla. Honela ondorengoa da egoera.

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarra da, eta $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, osatua da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

Orduan ere ezin da baieztatu ezaugarri hauek dituen gorputza bakarra denik, edo zenbaki errealen gorputzaren isomorfismo isometrikoa denik.

8.1. Kontraadibidea:

$([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$, zenbaki errealetan bezala definitua.

$x\oplus y=[\{x_{n}+y_{n}:n\geq 1\}]$, $x\odot y=[\{x_{n}\cdot y_{n}:n\geq 1\}]$ eta $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }(y_{n}-x_{n})\geq 0$.

Zeinak gorputz ordenatu arkimediarra eratzen duen.

$\wp =\{[k]\oplus {\sqrt {2}}:k\in \mathbb {Z} \}$, non: ${\sqrt {2}}=[\{({\sqrt {2}})_{n}:n\geq 1\}]$, $({\sqrt {2}})_{n}$ koefiziente arrazionaleko segida, ${\sqrt {2}}$ra konbergitzen duena zenbaki errealetan.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa honela definitua:

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|$, $x,y\in \wp$ edo $x,y\notin \wp$ ematen bada.

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}+1-y_{n}|$, $x\notin \wp$ eta $y\in \wp$ ematen bada.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$, $([\mathbb {Q} ],d)$ metrika euklidearraren hedapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ Trinkoa da $([\mathbb {Q} ],d)$-n: $[C(\mathbb {Q} )]={\overline {[\mathbb {Q} ]}}$.

Eta $([C(\mathbb {Q} )],e)$ osatua da $([\mathbb {Q} ],d)$-ren gain.

Baina ez da zenbaki errealen multzoa: Neurri berriarekin egindako bolak ondorengoak dira zenbaki errealetan.

$B_{e}(a,\varepsilon )=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:e(a,x)<\varepsilon \}=\{a\}\cup (B(a-1,\varepsilon )-\{a-1\})$, $a\in \wp$ bada.

Eta $a\notin \wp$ bada: $B_{e}(a,\varepsilon )=B(a,\varepsilon )$

Ondorioa: Kontraadibide honek erakusten du, beste axioma bat behar dela zenbaki errealen multzoa modu bakarrean karakterizatzeko.

$B_{e}(a,\varepsilon )=\{a\}\cup (B(a-1,\varepsilon )-\{a-1\})$

Irudian: $B_{e}(a,\varepsilon )$, irudikatu da: $a\in \wp$ denean.

$[C(\mathbb {Q} )]$-ko elementuak zenbaki errealetan bezala kokatu dira: ordena eta distantziarekiko. Baina metrika berriarekin $a\in \wp$ zentrutik gertu dauden puntuak, zenbaki errealetan unitate bat ezkerretara desplazatzen dira.

Froga:

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa da.

1: $e:[C(\mathbb {Q} )]\times [C(\mathbb {Q} )]\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$, ondo definiutatko aplikazioa da.

2: $\forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )]$, $e(x,y)=e(y,x)$, defini daiteke.

3: $\forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )]$, $e(x,y)\geq 0$, berealakoa da.

4:$e(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$.

$\Leftarrow$ Berealakoa da.

$\Rightarrow$$x,y\in \wp$, bada edo $x,y\notin \wp$ orduan $e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0$, bada: $x=[\{x_{n}:n\geq 1\}]=[\{y_{n}:n\geq 1\}]=y$.

Eta beste kasua ezinezkoa da: $x\notin \wp$ eta $y\in \wp$ izanik, $e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}+1-y_{n}|=0$, bada zenbaki errealetan ondorengo berdintza ematen da:

$x+1=y\Rightarrow x\in \wp$.

5: Desberdintza triangeluarra:

5.1. $x,y\notin \wp$

$z\notin \wp$, bada: desberdintza triangeluarra zenbaki errealetan bezala ematen da.

$z\in \wp$, bada: $|x_{n}-y_{n}|=|x_{n}+1-(y_{n}+1)|\leq |x_{n}+1-z_{n}|+|y_{n}+1-z_{n}|$

eta limitera eramanez: $e(x,y)\leq e(x,z)+e(z,y)$

5.2.$x,y\in \wp$

$z\notin \wp$, bada: $|x_{n}-y_{n}|\leq |z_{n}+1-x_{n}|+|z_{n}+1-y_{n}|$,

eta limitera eramanez desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.

$z\in \wp$, bada:desberdintza triangeluarra zenbaki errealetan bezala ematen da.

5.3. $x\notin \wp$ eta $y\in \wp$ kasua.

$z\notin \wp$, bada: $|x_{n}+1-y_{n}|=|x_{n}-(y_{n}-1)|\leq |x_{n}-z_{n}|+|z_{n}-(y_{n}-1)|$

$|x_{n}+1-y_{n}|\leq |x_{n}-z_{n}|+|z_{n}+1-y_{n}|$, ondorioztatzen da, eta limitera eramanez desberdintzaa triangeluarra.

$z\in \wp$, bada: $|x_{n}+1-y_{n}|\leq |x_{n}+1-z_{n}|+|z_{n}-y_{n}|$, eta limitera eramanez desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa $([\mathbb {Q} ],d)$, espazio metriko euklidearraren hedapena da.

$[p],[q]\in [\mathbb {Q} ]\Rightarrow [p],[q]\notin \wp$

$e([p],[q])=\lim _{n\to \infty }|p-q|=|p-q|=d([p],[q])$

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa trinkoa da $([\mathbb {Q} ],d)$ espazio metrikoan.

$x\in [C(\mathbb {Q} )]$ emanik.

1: $x\notin \wp$ bada $x=\lim _{n\to \infty }[x_{n}]$ betetzen da, zenbaki errealen kasuan bezala.

2: $x\in \wp$ bada $x=\lim _{n\to \infty }[x_{n}-1]$, betetzen da, espazio metriko berrian.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metriko osatua da $([\mathbb {Q} ],d)$-ren gain.

Izan bedi: $\{[x_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]$, cauchyrena $([\mathbb {Q} ],d)$-n, orduan zenbaki errealetan ohiko metrikarekin limite bakarra du:

$\lim _{n\to \infty }\mid x_{n}-x\mid =0$.

$x\notin \wp$ bada: $x=\lim _{n\to \infty }[x_{n}]$, $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoan.

$x\in \wp$ bada: $x\oplus [1]=\lim _{n\to \infty }[x_{n}]$, $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoan.

Ondorioak:

1: Gorputz ordenatu arkimediar trinko eta osatu txikiena, ez da zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa, eta beraz emandako metrika berriak baldintza osagarriren bat bete behar du azpigorputz ordenatu arkimediar txikienaren gain.

2: Ezaugarri hori ez da unitateko distantziaren kontserbazioa, zeren azken kontraadibidean:

$\forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow e(x,y)=e(x\oplus [1],y\oplus [1])$, betetzen da.

Hurrengo kontraadibidean, ikusiko da distantziaren kontserbazioa zenbaki arrazionaletara hedatzen bada, baldintza hori ez dela nahikoa zenbaki errealen isomorfismo isometriko bat eraikitzeko.

8.2. kontraadibidea

$([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$, zenbaki errealetan bezala definitua.

$x\oplus y=[\{x_{n}+y_{n}:n\geq 1\}]$, $x\odot y=[\{x_{n}\cdot y_{n}:n\geq 1\}]$ eta $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }(y_{n}-x_{n})\geq 0$.

Zeinak gorputz ordenatu arkimediarra eratzen duen, 8.2 kontraadibidean bezala.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa honela definitua:

$e([p],[q])=|p-q|$, baldin eta: $[p],[q]\in [\mathbb {Q} ]$ ematen bada.

$e(x,y)=\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|$, baldin eta: $x,y\notin [\mathbb {Q} ]$ ematen bada.

$e([p],x)=\lim _{n\to \infty }|p-(x_{n}-1)|$, baldin eta:$[p]\in [\mathbb {Q} ]$ eta $x\notin [\mathbb {Q} ]$ ematen bada.

Baldintza hauetan $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metriko bat da, $([\mathbb {Q} ],d)$ espazio metriko euklidearraren hedapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ trinkoa da, $([\mathbb {Q} ],d)$ espazio metrikoaren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ osatua da, $([\mathbb {Q} ],d)$ espazio metrikoaren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoak, distantzia kontserbatzen du zenbaki arrazionalen bidezko batura bidez. Hots:

$\forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )];\forall [p]\in [\mathbb {Q} ]\Rightarrow e(x,y)=e(x\oplus [p],y\oplus [p])$

$([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq ,e)$ ez da zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa.

Ondorioa: Beharrezkoa da, distatziaren kontserbazioa zenbaki multzo handiago batetara hedatzea, zenbaki irrazionaletara hedatuko da.

8.3. Axioma

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$ Gorputz ordenatu arkimediarra, $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\leq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren hedapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa $([\mathbb {Q} ],d)$ espazio metriko euklidearraren hedapena da, eta bateragarria baturarekiko: $\psi$.

$\forall x,y,z\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))$

8.4. Proposizioa

$\forall \alpha \in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow$$\psi _{\alpha }:[C(\mathbb {Q} )]\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$ jarraia da, zeinetan: $\psi _{\alpha }(x)=\psi (\alpha ,x)$.

Froga:

Topologia metrikoetan, multzo irekien oinarri bat bola irekiek osatzen dute.

Izan bedi: $B(b,\varepsilon )$, Ikus dezagun $\psi _{\alpha }^{-1}(B(b,\varepsilon ))$, multzo irekia dela.

$a=\psi (b,{\overline {\alpha }})$, hartzen bada orduan: $\psi _{\alpha }(B(a,\varepsilon ))=B(b,\varepsilon )$, betetzen da.

$y\in \psi _{\alpha }(B(a,\varepsilon ))\Rightarrow y=\psi (\alpha ,x):x\in B(a,\varepsilon )$

$e(b,y)=e(\psi _{\alpha }(a),\psi _{\alpha }(x))=e(\psi (\alpha ,a),\psi (\alpha ,x))=e(a,x)<\varepsilon$.

Ondorioz: $y\in \psi _{\alpha }(B(a,\varepsilon ))\Leftrightarrow y\in B(b,\varepsilon )$, eta ondorioz: $\psi _{\alpha }^{-1}(B(b,\varepsilon ))=B(a,\varepsilon )$ irekia da.

Ondorioak:

Bi ondorio. Lehena baldintza hauetan bi zenbaki irrazionalen artean existitzen dira zenbaki arrazionalak.

Bigarrena: Zenbaki berdinera konbergitzen duten,segida arrazional gorakor batek eta segida arrazional beherakor batek, puntu bakarra barneratzen dute, edo ez dute ezer barneratzen. (Zeinak gorenaren axiomara hurbiltzen gaituen).

Ondorengoa da egoera:

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarra da, eta $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, osatua da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoak bateragarria da: $\psi$, barne konposizio legearekiko.

Azken baieztapena, axioma moduan txertatu behar izan denak esaten du: bi puntuk osatzen duten segmentua, zenbaki batekin batuz segmentua zuzen euklidearrean trasladatzen bada, segmentuak distantzia kontserbatu egiten duela. Hots: zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren ezaugarria.

8.5. Proposizioa

$[a_{n}]\rightarrow \alpha \Rightarrow [-a_{n}]\rightarrow {\overline {\alpha }}$, zeinetan: $\psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})=[0]$

Froga:

$e([-a_{n}],{\overline {\alpha }})=e({\overline {[a_{n}]}},{\overline {\alpha }})=e(\psi ({\overline {[a_{n}]}},[a_{n}]),\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}])=e([0],\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}])$

$e([0],\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}])=e(\psi ([0],\alpha ),\psi (\psi ({\overline {\alpha }},[a_{n}]),\alpha )=e(\alpha ,\psi (\psi ({\overline {\alpha }},\alpha ),[a_{n}])$

$e(\alpha ,\psi (\psi ({\overline {\alpha }},\alpha ),[a_{n}])=e(\alpha ,\psi ([0],[a_{n}])=e(\alpha ,[a_{n}])\rightarrow 0$

Notazioa: Distantzia eta ordena bereizte aldera ondorengo notazioa erabiliko da.

$[a,b]=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:a\preccurlyeq x\preccurlyeq b\}$, bitarte ertsiak zein irekiak erabiliz.

8.6. Proposizioa

Bi zenbakiren artean, existitzen da zenbaki arrazional bat.

$\alpha ,\beta \in [C(\mathbb {Q} )]:\alpha \prec \beta \Rightarrow \exists [q]\in [\mathbb {Q} ]:\alpha \prec [q]\prec \beta$

Froga:

$\alpha \prec \beta \Rightarrow [0]=\psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})$, ordena bateragarria delako barne konposizio legearekin.

$\exists n\in \mathbb {N} :[0]\prec [{\frac {1}{n}}]\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})$, gorputz ordenatua, arkimediarra izateagatik.

$[a,b)=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:a\preccurlyeq x\prec b\}$adieraziko da. Orduan:

$[C(\mathbb {Q} )]=\sum _{k\in \mathbb {Z} }[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])$, bitarte erdi irekien bilketa disjuntua dela frogatuko da.

$\supset$

$\forall k\in \mathbb {Z} ,[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])\subset [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow$$\sum _{k\in \mathbb {Z} }[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])\subset [C(\mathbb {Q} )]$

$\subset$

$x_{0}\in [C(\mathbb {Q} )]$ emanik, izan bedi, $E(x_{0})=\{[{\frac {k}{n}}]\in [\mathbb {Q} ]:k\in \mathbb {Z} ;[{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq x_{0}\}$

Baldin eta: $x_{0}\succ [0]$, bada, ezaugarri arkimediarragatik:

$\exists N\in \mathbb {N} :x_{0}\prec [N]=[{\frac {N\cdot n}{n}}]$, eta

$\exists M\in \mathbb {N} :{\overline {x_{0}}}\prec [M]\Rightarrow \psi ({\overline {x_{0}}},[{\overline {M}}])\prec [0]\Rightarrow$

$\Rightarrow [{\overline {M}}]=\psi (x_{0},\psi ({\overline {x_{0}}},[{\overline {M}}]))\prec \psi (x_{0},[0])=x_{0}\Rightarrow [{\overline {M}}]\prec x_{0}$

Ondorioz: $[{\overline {M}}]=[-{\frac {M\cdot n}{n}}]\prec x_{0}\prec [{\frac {N\cdot n}{n}}]\Rightarrow \exists !k\in \mathbb {Z} :[{\frac {k}{n}}]\prec x_{0}\prec [{\frac {k+1}{n}}]$

$x_{0}\prec [0]$ bada $[0]\prec [{\overline {x_{0}}}]$-ren gain berdin argudiatuz emaitza lortzen da.

Orduan $\forall n\in \mathbb {N} ,\exists !k,q\in \mathbb {Z} :[{\frac {k}{n}}]\prec \alpha \prec [{\frac {k+1}{n}}];[{\frac {q}{n}}]\prec \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]$

I) $[q+1]\preccurlyeq [k]\Rightarrow \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]\preccurlyeq [{\frac {k}{n}}]\prec \alpha$, ezinezkoa.

ii) $[q]=[k]\Rightarrow [{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq \alpha \prec \beta \prec [{\frac {k+1}{n}}]$

$\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq \psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})\prec \psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }})$

$\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq [0]\prec [{\frac {1}{n}}]\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})\prec \psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }})$

$[0]=\psi ([{\frac {1}{n}}],[-{\frac {1}{n}}])\prec \psi (\psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }}),[-{\frac {1}{n}}])=\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})$

Eta ondorioz: $\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq [0]\prec \psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})$. Zeina ezinezkoa den.

i) eta ii)-ren ondorioz: $[q]>[k]\Rightarrow [k+1]\preccurlyeq [q]$

$[{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq \alpha \prec [{\frac {k+1}{n}}]\preccurlyeq [{\frac {q}{n}}]\prec \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]$

Beraz bi zenbakiren artean existitzen da zenbaki arrazional bat.

Oharra: Ondorengo proposizioek Gorenaren axiomara hurbilduko gaitu.

8.7. Proposizioa.

$[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$, orduan $\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow [a_{n}]\leq [b_{n}]$

Froga:

Absurdura bideratuz suposa bedi: $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :[b_{n_{0}}]<[a_{n_{0}}]$

$[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$ $\Rightarrow \forall m>n_{0},[b_{m}]\leq [b_{n_{0}}]<[a_{n_{0}}]\leq [a_{m}]$

Desberdintza zenbaki arrazionalen artekoa denez:

$0<e([b_{n_{0}}],[a_{n_{0}}])\leq e([b_{m}],[a_{m}])\leq e([b_{m}],\alpha )+e([a_{m}],\alpha )$

$e([b_{m}],\alpha )+e([a_{m}],\alpha )\rightarrow 0$ , ezinezkoa.

8.8. Proposizioa

$[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$, orduan bi proposizio hauetako bakar bat betetzen da:

1 ) $\exists !x\in [C(\mathbb {Q} )]:\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]=\{x\}$

2) $\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]=\emptyset$

Froga.

Absurdura bideratuz, suposa bedi $\exists \alpha ,\beta \in \bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]$ eta $\alpha <\beta$.

8.6. proposizioagatik,$\exists [p],[q]\in [\mathbb {Q} ]$, non $\alpha <[p]<[q]<\beta$.

$\exists \alpha ,\beta \in \bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]\Rightarrow$ $\forall n\in \mathbb {N} ,[a_{n}]\prec \alpha \prec \beta \prec [b_{n}]$

Zeren $[a_{n},b_{n}]=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:[a_{n}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [b_{n}]\}$

Honela zenbaki arrazionalen harteko ondorengo desberdintza betetzen da.

$\forall n\in \mathbb {N} ,[a_{n}]\prec \alpha \prec [p]\prec [q]\prec \beta \prec [b_{n}]$, eta ondorioz:

$0<e([p],[q])\leq e([a_{n}],[b_{n}])\rightarrow 0$ ezinezkoa.

Ondorioz ezinezkoa da $\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]$ multzoak bi elementu edo gehio izatea.

Eta beraz elementu bakarra izango du ala multzo hutsa izango da.

Hipotesia: Multzo hutsaren hipotesia.

$\exists$ $[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$, non $\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]=\emptyset$.

Baldintzak:

Ondorengoa da egoera:

$([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarra da, eta $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, osatua da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoak bateragarria da: $\psi$, barne konposizio legearekiko.

8.9. Teorema.

Multzo hutsaren hipotesia betetzen bada ezinezkoa da, $[C(\mathbb {Q} )]$, zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa izatea.

Froga:

Absurdura bideratuz isomorfismo isometriko bat existitzen bada: $\exists ,F:[C(Q)]\rightarrow \mathbb {R}$, zeinetan, $F$ isomorfismo isometrikoa den.

Orduan $F$, aplikazioak zenbaki arrazionalak finko mantentzen ditu, eta ordena mantentzen du, eta hori ezinezkoa da.

$\exists$ $[a_{n}]\uparrow \alpha$ eta $[b_{n}]\downarrow \alpha$, non $\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]=\emptyset$.

$[[a_{n}],[b_{n}]]=\{x\in [C(Q)]:[a_{n}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [b_{n}]\}$, eta ondorioz: $F([[a_{n}],[b_{n}]])=\{F(x)\in \mathbb {R} :[a_{n}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [b_{n}]\}$.

$F$, isomorfismoak ordena mantentzen duenez, $F([[a_{n}],[b_{n}]])=\{F(x)\in \mathbb {R} :a_{n}\leq F(x)\leq b_{n}\}=[a_{n},b_{n}]$.

Honela: $F(\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]])=F(\emptyset )=\emptyset$ eta

$F(\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]])=\bigcap _{n\geq 1}F([[a_{n}],[b_{n}]])=\bigcap _{n\geq 1}[a_{n},b_{n}]=\lim _{n\to \infty }a_{n}$

Lehen berdintza $F$ bijektiboa delako, eta azken berdintza zenbaki errealek gorenaren axioma betetzen dutelako.

Ezinezkoa da beraz multzo hutsaren hipotesia betetzea.$[C(\mathbb {Q} )]$ zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa izatea nahi bada.

8.10. Oharra

Zenbaki errealen multzoa ezaguna izateak abantaila bat ematen du, bere eraikuntzarako beharrezkoak diren axiomak ezartzerako orduan. Honela errez frogatzen da, gorenaren axioma beharrezko baldintza bat dela zenbaki errealen eraikuntzan. Baina oraindik ez da frogatu axioma bat denik. Gerta daiteke, multzo hutsaren hipotesiarekin, ezarritako baldintzak betetzen dituen gorputz bat eraikitzea ezinezkoa izatea, eta orduan gorenaren axioma beste axiomen ondorioz ematen den proposizioa izango litzateke. Honetarako kontraadibide bat eraiki behar da ondorengo baldintzatan:

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarra da, eta $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, osatua da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

$([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoak bateragarria da: $\psi$, barne konposizio legearekiko.

$[C(\mathbb {Q} )]$ multzo hutsaren hipotesia betetzen du.

Baldintza horiek betetzen dituen gorputza existitzen bada, Gorenaren axioma, axioma bat izango da zenbaki errealen eraikuntzarako beharrekoa, eta ez bada existitzen gorenaren axioma, beste axiomen ondorioz ematen den proposizioa izango da.

Atal honen amaierarako utziko da kontraadibidea, prozesua luzea izateaz gainera, definizio berri batzuk, eta notazio berri bat eskatzen dituelako.

Momentuz, $[C(\mathbb {Q} )]$-k gorenaren axioma betetzen du, baina ez dakigu axioma bat den edo proposizio bat den.

9. Gorenaren Axioma: Kontraadibidea

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$ Gorputz ordenatu arkimediarra existitzen dela frogatuko da lehenik. Zeinetan:

1: $\psi (x,y)=x\oplus y$, $\psi (x,y)=x\oplus y=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\oplus [\{y_{n}:n\geq 1\}]=[\{x_{n}+y_{n}:n\geq 1\}]$

2: $[C(\mathbb {Q} )]$-k multzo ez hutsaren hipotesia betetzen duela suposatuko da ( edo ez duela Gorenaren axioma betetzen ).

$[C(\mathbb {Q} )]$-ko elementuak ordenarekiko konparatuko dira zenbaki errealekin, eta $[C(\mathbb {Q} )]$ -k multzo hutsaren hipotesia betetzen duenez, hutsune horrek zenbaki errealetan puntu bat determinatuko du. Honela zenbaki errealetan zenbait puntu kenduaz gorputz bat eraiki daitekeela frogatuko da Zorn-en Lema erabiliz (Zeina aukeraketaren axiomaren baliokidea den). Gorputz hau existitzen dela frogatuko da eta $([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\phi ,\preccurlyeq )$-ren isomorfismoa dela frogatuko da.

Notazioa:$F\prec G$, erabiliko da (teorema honetan soilik), $F$, $G$-ren azpigorputz dela adierazteko.

Oharra: Ondorengo definizioan, $[C(\mathbb {Q} )]$ multzoko hutsunea zenbaki errealetan: $\pi$, dela suposatuko da.

Definizioa: $\pi \in \mathbb {R} -\mathbb {Q}$, emanik ${\mathcal {F}}(\pi )=\{F:\mathbb {Q} \prec F\prec \mathbb {R} ,\pi \not \in F\}$ multzoa definituko da: $\pi$ bere baitan ez duten, $\mathbb {Q}$-ren gaineko, $\mathbb {R}$-ren azpigorputzak adierazteko.

Proposizioa: Existitzen da elementu maximala ${\mathcal {F}}(\pi )$-n.

Froga: $({\mathcal {F}}(\pi ),\subset )$ , partzialki ordenatutako multzoa da.

$\pi \notin \mathbb {Q} ;\mathbb {Q} \prec \mathbb {R} \Rightarrow$$\mathbb {Q} \in {\mathcal {F}}(\pi )\neq \emptyset$.

Guztiz ordenaturiko edozein multzoen familiak goi borne bat duela frogatuko da.$({\mathcal {F}}(\pi ),\subset )$-n.

Izan bedi: $\{F_{i}:i\in I\}\subset {\mathcal {F}}(\pi )$, guztiz ordenaturiko multzoen familia bat. $G=\bigcup _{i\in I}F_{i}\in {\mathcal {F}}(\pi )$, frogatuko da.

1: $G$,$\mathbb {Q}$-ren gaineko, $\mathbb {R}$-ren azpigorputza da:$\mathbb {Q} \prec G\prec \mathbb {R}$ .

$\forall x,y\in G\Rightarrow \exists i,j\in I:x\in F_{i};y\in F_{j}$

Multzoen familia: $\{F_{i}:i\in I\}$, guztiz ordenatua egoteagatik: $F_{i}\subset F_{j}$, orokortasunik galdu gabe.

$F_{j}$ gorputza denez: $x,y\in F_{j}\Rightarrow x-y,xy^{-1}\in F_{j}\subset G$. ( Biderkadurarentzat: $y\neq 0$ denean ).

Ondorioz: $G$, gorputza da, eta $\mathbb {Q} \prec G\prec \mathbb {R}$ erraz ondorioztatzen da.

2: $\pi \notin G$. Absurdura bideratuz: $\pi \in G$ bada, $\exists i\in I:\pi \in F_{i}$ , eta $F_{i}\in {\mathcal {F}}(\pi )\Rightarrow \pi \notin F_{i}$.Ezinezkoa.

Ondorioz: $G\in {\mathcal {F}}(\pi )$. Eta $\forall i\in I,F_{i}\subset G$.

Eta beraz guztiz ordenaturiko edozein familiak goi bornea du. Honela Zorn-en lema aplikatuz, ${\mathcal {F}}(\pi )=\{F:\mathbb {Q} \prec F\prec \mathbb {R} ,\pi \not \in F\}$ multzoan existitzen da elementu maximala.

Elementu maximal bat aukeratuko da, eta $G_{\pi }\in {\mathcal {F}}(\pi )$, adieraziko da.

Oharrak: $G_{\pi }$, izango da kontraadibiderako erabiliko den gorputza.$(G_{\pi },+,\cdot ,\leq )$ eta $([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\phi ,\preccurlyeq )$ren arteko isomorfismoa eratuko da.

$[C(\mathbb {Q} )]$Multzoa Cauchyren segida erregularrek osatzen dute. Cauchyren segida bat emanik, bere baliokideak diren segida gorakorra eta beherakorra eraiki daitezke. Zentzu honetan ondorego notazioa erabiliko da

$\forall x\in [C(\mathbb {Q} )],\exists [x_{n}^{1}]\uparrow ,[x_{n}^{2}]\downarrow$, erregularrak. Hots: $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }x_{n}^{1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}^{2}$ .

Notazioarekin lehial izanez gero: $x=x^{1}=x^{2}$.

$[C(\mathbb {Q} )]$ Multzoa bi zatitan banatuko da. Lehen multzoko elementua osatzen duen segidak, ez du Gorenaren axioma beteko, eta beste multzoko elementua osatzen duen segidak beteko du gorenaren axioma. Hots lehen multzoko puntuaren elementuek ez dute punturik barneratuko (ordenarekiko), eta bigarren multzoko puntuen elementuek, puntu bat barneratuko dute.

$[C(\mathbb {Q} )]=\{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]=\emptyset \}\oplus \{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]\neq \emptyset \}$

Bigarren multzoa, puntu bat barneratzen duten segida erregularrek osatzen dute, eta horrela $[C(\mathbb {Q} )]$-ko elementu guziak barneratzen dira. Bigarren multzoa: ${\mathcal {P}}=\{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]\neq \emptyset \}$, adierazten bada. Gogora bedi, bitarteak ordenari egiten diola erreferentzi.

$[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:[x_{n}^{1}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [x_{n}^{2}]\}$

Proposizioa.

$f:{\mathcal {P}}\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$, aplikazio bijektiboa da. Zeinetan:

$\forall x\in {\mathcal {P}},\{f(x)\}=\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]\neq \emptyset \}$.

Froga:

$f:{\mathcal {P}}\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$

Aplikazioa da.

$\forall x\in {\mathcal {P}},\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]\neq \emptyset \Rightarrow |\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]|=1$, eta beraz $\exists !f(x)\in [C(\mathbb {Q} )]$.

Injektiboa da.

$x,y\in {\mathcal {P}}:f(x)=f(y)\Rightarrow \{f(x)\}=\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]=\{f(y)\}=\bigcap _{n\geq 1}[[y_{n}^{1}],[y_{n}^{2}]]$

Eta beraz: $\lim _{n\to \infty }x_{n}^{1}=\lim _{n\to \infty }y_{n}^{1}$, honela: $x=y$.

Supraiektiboa da.

$y\in [C(\mathbb {Q} )]$emanik barnera daiteke segida arrazionalen bidez: $\exists [x_{n}^{1}]\uparrow ,[x_{n}^{2}]\downarrow$, non $[x_{n}^{1}]\preccurlyeq y\preccurlyeq [x_{n}^{2}]$, eta $\lim _{n\to \infty }x_{n}^{1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}^{2}$.

Orduan: $\{y\}=\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]=\{f(x)\}$. Honela, $\exists x\in [C(\mathbb {Q} )]:y=f(x)$.

Bijekzio bat existitu arren, eta ${\mathcal {P}}\subset [C(\mathbb {Q} )]$, izan arren bi multzoak desberdinak dira.

Proposizioa: Multzo hutsaren hipotesia betetzen bada, ${\mathcal {P}}\subsetneq [C(\mathbb {Q} )]$.

Froga:

Multzo hutsaren hipotesia egia bada: $\exists [a_{n}]\uparrow ,[b_{n}]\downarrow$, non $\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$, eta $\bigcap _{n\geq 1}[[a_{n}],[b_{n}]]=\emptyset$

Ondorioz: $a=[\{a_{n}:n\geq 1\}]\notin {\mathcal {P}}$.

Ikusi denez:

$[C(\mathbb {Q} )]=\{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]=\emptyset \}\oplus \{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]\neq \emptyset \}$

${\mathcal {H}}=\{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]=\emptyset \}$

${\mathcal {P}}=\{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]\neq \emptyset \}$

${\mathcal {P}}$, multzoak gorputz maximaleko puntuen papera jokatuko du, eta ${\mathcal {H}}$ multzoak hutsune multzoaren puntuak.

Hots, Cauchyren bi segida baliokidek ( gorakorra eta beherakorra ) ez badute elementu bat barneratzen, hutsune bat sortzen dute. Baina Cauchyren segida baliokideak izateagatik, $[C(\mathbb {Q} )]$ ko elementu bat dira, elementu honek ez du hutsunea sortzen, elementu hau osatzen duten terminuek determinatzen dute hutsunea.

Zenbaki errealekin konparatzeko, $[C(\mathbb {Q} )]$ko elementu bakoitza bere terminuen limitera eramango da zenbaki errealetan.

Proposizioa:

$L:[C(\mathbb {Q} )]\rightarrow \mathbb {R}$, aplikazioa bijektiboa da. Zeinetan:

$x=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow L(x)=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

Froga. Ez du zailtasunik, zenbaki errealetan Cauchyren segidak konbergenteak dira.

Isomorfismoa.

Honenbestez isomorfismoa eraikitzeko moduan gaude, $G_{\pi }\in {\mathcal {F}}(\pi )$ gorputz maximalaren gain.

$G_{\pi }=L({\mathcal {P}})$ eginez, zeina hipotesiagatik existitzen den. $f({\mathcal {P}})=[(C(\mathbb {Q} ))]$, denez:

$G_{\pi }=L(f^{-1}([C(\mathbb {Q} )]))=(L\circ f^{-1})([C(\mathbb {Q} )])$

Proposizioa:

$(f\circ L^{-1}):L({\mathcal {P}})\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$ aplikazio bijektiboa da.

Froga: Aplikazio bijektiboen konposizioa bijektiboa da.

$[C(\mathbb {Q} )]$Multzoan batura eta biderkadura definitu gabe daude, baturaren aukera posible bat: $\psi (x,y)=x\oplus y$ egitea da.

Teorema:

$(f\circ L^{-1}):G_{\pi }\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]$, Gorputzen arteko isomorfismoa da.

Zeinetan $(G_{\pi },+,\cdot ,\leq )$, zenbaki arrazionalen gaineko gorputz ordenatu arkimediarra den, zenbaki errealen azpigorputza delako.

Eta $([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$-en eragiketak isomorfismoaren bidez definitzen diren.

$(f\circ L^{-1})(u+v)=\psi ((f\circ L^{-1})(u),(f\circ L^{-1})(v))$

$(f\circ L^{-1})(u+v)=\phi ((f\circ L^{-1})(u),(f\circ L^{-1})(v))$

Eta ordena: $x\leq y\Leftrightarrow (L\circ f^{-1})(u)\preccurlyeq (L\circ f^{-1})(v)$

Ondorengo baldintzarekin: $\psi (x,y)=x\oplus y$

Froga.

$\psi (x,y)=x\oplus y$, baldintza ezar daiteke. $x=(f\circ L^{-1})(u);y=(f\circ L^{-1})(v)$

$(f\circ L^{-1})(u+v)=(f\circ L^{-1})(u)\oplus (f\circ L^{-1})(v)$

$\Leftrightarrow (f\circ L^{-1})(L\circ f^{-1}(x)+L\circ f^{-1}(y))=x\oplus y$ $\Leftrightarrow (f\circ L^{-1})(L(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))=x\oplus y$

$\Leftrightarrow f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y)=x\oplus y$

Orokortasuna galdu gabe notazioak aldatuz$\Leftrightarrow f(x\oplus y)=f(x)\oplus f(y)$

Eta ondorengo berdintza betetzen denez:$\{f(x\oplus y)\}=\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}+y_{n}^{1}],[x_{n}^{2}+y_{n}^{2}]]=\psi (f(x)\oplus f(y))$

$\psi (x\oplus y)=x\oplus y$, kontsidera daiteke.

Korolarioa:

$(G_{\pi },+,\cdot ,\leq ,e)$ Gorputz ordenatu arkimediarra da. Trinkoa eta osatua zenbaki arrazionalen gain. Metrika bateragarria da baturarekiko, zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren hedapena da eta ez du Gorenaren axioma betetzen.

Zeinetan: $e(u,v)=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)-(L\circ f\circ L^{-1})(v)|$

Froga:

$(G_{\pi },+,\cdot ,\leq )$ Gorputz ordenatu arkimediarra da.

Gorputz hau Zorn-en lemarengatik existitzen da, Zenbaki arrazionalen hedapena da, eta zenbaki errealen azpigorputza da.

Ondorioz arkimediarra da.

Metrika:

1: Zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren hedapena da.

$\forall p\in \mathbb {Q} \Rightarrow L([p])=p;f([p])=[p]$.

$e(p,q)=|(L\circ f\circ L^{-1})(p)-(L\circ f\circ L^{-1})(q)|=|p-q|$

2: $(G_{\pi },e)$Trinkoa da $(\mathbb {Q} ,e)$-ren gain.

Izan bedi, $u\in G_{\pi }$. Orduan, $(L\circ f\circ L^{-1})(u)\in \mathbb {R}$

Eta zenbaki errealetan existitzen da limite hori duen segida arrazionala.

$\exists \{v_{n}:n\geq 1\}\in C(\mathbb {Q} ):(L\circ f\circ L^{-1})(u)=\lim _{n\to \infty }v_{n}$.

Honela, $\forall \varepsilon >0,\exists n\in \mathbb {N}$, non:

$e(u,v_{n})=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)-(L\circ f\circ L^{-1})(v_{n})|=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)-v_{n}|<\varepsilon$

Eta beraz: $u\in B(v_{n},\varepsilon )$.

3: $(G_{\pi },e)$ Osatua da $(\mathbb {Q} ,e)$-ren gain.

Izan bedi $\{a_{n}:n\geq 1\}\in C(\mathbb {Q} )$, zenbaki arrazionalen gaineko Cauchyren segida bat.

Orduan: $a=[\{a_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]$, eta $u=(L\circ f^{-1})(a)\in L({\mathcal {P}})=G_{\pi }$.

$\{a_{n}:n\geq 1\}\in C(\mathbb {Q} )$ Seidak $u\in G_{\pi }$, rea konbergitzen du metrika berrian.

$e(u,a_{n})=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)-(L\circ f\circ L^{-1})(a_{n})|=|L(a)-a_{n}|<\varepsilon$

4: $(G_{\pi },e)$ Metrika bateragarria da barne konposizio legearekiko.

$\forall u,v,w\in G_{\pi }\Rightarrow e(u,v)=e(u+w,v+w)$

$e(u+w,v+w)=|(L\circ f\circ L^{-1})(u+w)-(L\circ f\circ L^{-1})(v+w)|$

$e(u+w,v+w)=|(L\circ f)(L^{-1}(u)\oplus L^{-1}(w))-(L\circ f)(L^{-1}(v)\oplus L^{-1}(w))|$

Eta ondorengo erlazioa betetzen denez:$f(x\oplus y)=f(x)\oplus f(y)$

$e(u+w,v+w)=|(L((f\circ L^{-1})(u)\oplus (f\circ L^{-1})(w))-(L((f\circ L^{-1})(v)\oplus (f\circ L^{-1})(w))|$

$e(u+w,v+w)=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)+(L\circ f\circ L^{-1})(w)-(L\circ f\circ L^{-1})(v)-(L\circ f\circ L^{-1})(w)|$

$e(u+w,v+w)=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)-(L\circ f\circ L^{-1})(v)|=e(u,v)$

5: $(G_{\pi },+,\cdot ,\leq ,e)$ Espazioak ez du betetzen Gorenaren axioma.

Izan bedi zenbaki errealetan, $\pi =\lim _{n\to \infty }\pi _{n}$, unitateko zirkunferentziaren diametro erdira konbergitzen duen segida arrazional gorakorra.

Zebaki errealetan honela adierazten da: $\pi _{n}\uparrow \pi$.

$\{\pi _{n}:n\geq 1\}$ Barnatua dago $(G_{\pi },e)$ espazio metrikoan.

$\varepsilon =1,\exists n_{0}:\forall n\geq n_{0},|\pi _{n}-\pi _{n_{0}}|\leq 1$, eta ondorioz: $\forall n\in \mathbb {N} ,\pi _{1}\leq \pi _{n}\leq \pi _{n_{0}}+1$.

$\{\pi _{n}:n\geq 1\}$ Multzoak ez du elementu Gorena, $(G_{\pi },e)$-n.

Absurdura bideratuz, suposa bedi $h\in G_{\pi }$, $\{\pi _{n}:n\geq 1\}$-ren Goi borne txikiena dela.

$\pi \not \in G_{\pi }\Rightarrow h\neq \pi$. Eta beraz Zenbaki errealetan: i) $\pi <h$ ala ii) $h<\pi$

i) Ematen bada: $\exists q\in \mathbb {Q} :\pi <q<h$, eta $\forall n\in \mathbb {N} ,\pi _{n}<\pi <h$.

$q\in G_{\pi }$, eta $\{\pi _{n}:n\geq 1\}$ ren goi bornea da eta $h\in G_{\pi }$baino txikiagoa.

Honela $h\in G_{\pi }$ ez da $\{\pi _{n}:n\geq 1\}$-ren goi borne txikiena.

ii) Ematen bada, zenbaki errealetan: $\pi _{n}\uparrow \pi$ ematen denez.

$\exists n_{0}\in \mathbb {N} :h<\pi _{n_{0}}<\pi$, baina orduan $h\in G_{\pi }$ ez da $\{\pi _{n}:n\geq 1\}$ multzoaren goi bornea.

Ondorioz Existizen da $(G_{\pi },e)$-n multzo barnatu bat:$\{\pi _{n}:n\geq 1\}$ , Elementu gorena ez duena.

Bola irekiak irudikatuko dira: Irudia.

Ondorioak:

Ondorengo kontraadibidea aurkitu da:

1: $(G_{\pi },+,\cdot ,\leq )$ Gorputz ordenatu arkimediarra da eta $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena da.

2: $(G_{\pi },e)$ metrika bat da eta $(\mathbb {Q} ,e)$ Zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren hedapena da.

3: $(G_{\pi },e)$ trinkoa da $(\mathbb {Q} ,e)$-n.

4: $(G_{\pi },e)$ osatua da $(\mathbb {Q} ,e)$-n.

5: $(G_{\pi },e)$ espazio metrikoa bateragarria da baturarekiko.

6: $(G_{\pi },+,\cdot ,\leq ,e)$ ez du betetzen Gorenaren axioma.

Ondorioz, Gorenaren axioma ezin da gainerako axiometatik ondorioztatu. Gorenaren axioma gainerako axiometatik ondorioztatuko balitz: 1,2,3,4 eta 5 axiomak betetzen dituen gorputzak Gorenaren axioma beteko luke. Eta kontraadibideak erakusten du, hori ez dela horrela.

Honela gorenaren axioma, Axioma berri bat da, Zenbaki errealen eraikuntzarako beharrezkoa.

Eta beraz ondorengo axiomak betetzen ditu $([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$espazioak.

i ) $([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarra da, eta $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

ii) $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren hedapena da.

iii) $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

iv) $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, osatua da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

v) $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoak bateragarria da: $\psi$, barne konposizio legearekiko.

vi) $([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ espazioan Gorenaren axioma betetzen da.

10. Konbergentziaren axioma

Sarrera.

Helburua zenbaki errealak definitzen dituzten axiomak determinatzea da. Eta sei axioma hauekin ez dira definitzen zenbaki errealak. Cantorren multzoko elementu bat emanik: $x=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]$, Cauchyren segida osatzen duten bere terminuak, puntu batetan metatzen dira (ordenarekiko). Puntu hori $f(x)$ adierazi da: $\{f(x)\}=\bigcap _{n\geq 1}[[x_{n}^{1}],[x_{n}^{2}]]$, eta zenbaki errealetan metatze puntuak eta limiteak bat egiten dute: $f(x)=\lim _{n\to \infty }[x_{n}]$. Aipaturiko sei axioma horiekin, eraiki daiteke gorputz bat, metatze puntuak eta limiteak bat egiten ez dutena.

Definizioa.

$x=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]$, konbergentziaren ezaugarria betetzen duela esango dugu, baldin eta Cauchyren segidak bere metatze puntura konbergitzen badu.

$f(x)=\lim _{n\to \infty }[x_{n}]$.

Definizioa.

Multzo batek konbergentziaren ezaugarria betetzen duela esango dugu, multzo horretako zenbaki guziek konbergentziaren ezaugarria betetzen badute.

Zenbaki errealek beraz konbergentziaren ezaugarria betetzen dute.

Proposizioa

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ espazioak aipaturiko sei axiomekin eraikitzen bada, orduan $[\mathbb {Q} ]$ multzoak konbergentziaren ezaugarria betetzen du.

Froga:

Frogapenak ez du zailtasunik.

Proposizioa ( Konbergentziaren hipotesia puntu ez arrazional baten gain )

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ espazioa aipaturiko sei axiomekin eraikizen bada. Orduan:

$\exists x=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\in ([C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ]):f(x)=\lim _{n\to \infty }[x_{n}]$.

Hots: konbergentziaren ezaugarria puntu ez arrazional baten gain ematen da.

Oharra:

Aipaturiko proposizio hau, testuinguru honetan lehen proposizioa da. Hots zenbaki errealak definitzeko beharrezko axioma bat.

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ espazioa aipaturiko sei axiomekin zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa balitz, zenbaki guziek konbergentziaren ezaugarria beteko lukete, eta hori ez da horrela ondorengo kontraadibidean ikusiko denez. Ondorioz konbergentziaren hipotesia gutsienez puntu ez arrazional baten gain betetzea beharrezkoa da, zenbaki errealen eraikuntzarako.

Kontraadibidea

Zenbaki errealen multzoaren gain eraikiko da. Baina metrika berri batekin. honetarako zenbaki errealak klase baliokideetan banatuko dira.

Ondorengo baliokidetasun erlazioa eraikiko da zenbaki errealen gain:

$x,y\in \mathbb {R} ,x\backsim y\Leftrightarrow \exists q\in (\mathbb {Q} -\{0\}):xq-y\in \mathbb {Q}$.

Erraz frogatzen da baliokidetasun erlazioa dela. Klase baliokideak:

$[\alpha ]=\{x\in \mathbb {R} :\alpha \backsim x\}=\{p+\alpha q:p,q\in \mathbb {Q} ;q\neq 0\}=\mathbb {Q} +\alpha (\mathbb {Q} -\{0\})$

Zatidura multzoa: ${\frac {\mathbb {R} }{\backsim }}=\{[x]:x\in \mathbb {R} \}$.

Eta aukeraketaren axiomagatik, $\exists {\mathcal {A}}\subset \mathbb {R}$, zeinetan: $\Gamma :{\mathcal {A}}\rightarrow {\frac {\mathbb {R} }{\backsim }}$, modu honetan definitua: $\Gamma (\alpha )=[\alpha ]$ bijekzioa den.

Eta klase bakoitzaren ordezkari moduan, multzo horretako edozein elementu aukera daitekenez: $0\in {\mathcal {A}}$, suposa daiteke.

Baliokidetasun erlazio batek, klase baliokideetan zatitzen du multzoa.

$\mathbb {R} =\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\mathbb {Q} +\alpha (\mathbb {Q} -\{0\})$

Honela $x\in \mathbb {R}$ emanik: $\exists !\alpha \in {\mathcal {A}}$, $\exists !p\in \mathbb {Q}$ eta $\exists !q\in \mathbb {Q} -\{0\}$, zeinetan: $x=p+\alpha q$. Eta ondorioz bere konjokatua defini daiteke: ${\overline {x}}=p-\alpha q$.

Zenbaki errealen gaineko metrika euklidearra: $d$, adierazten bada: $d(x,y)=|x-y|$.

Metrika berria ondorengoa da: $e(x,y)=d({\overline {x}},{\overline {y}})$.

Zenbaki errealen multzoak metrika berriarekin sei axiomak betetzen ditu.

i ) $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )$gorputz ordenatu arkimediarra da, eta $(\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren hedapena da.

ii) $(\mathbb {R} ,e)$ espazio metrikoa, $(\mathbb {Q} ,d)$espazio metriko euklidearraren hedapena da.

iii) $(\mathbb {R} ,e)$ espazio metrikoa, trinkoa da: $(\mathbb {Q} ,d)$espazio metriko euklidearraren gain.

iv) $(\mathbb {R} ,e)$ espazio metrikoa, osatua da: $(\mathbb {Q} ,d)$espazio metriko euklidearraren gain.

v) $(\mathbb {R} ,e)$ espazio metrikoa bateragarria da: $+$, barne konposizio legearekiko.

vi) $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq ,e)$ espazioan Gorenaren axioma betetzen da.

i) Axioma betetzen da kontraadibidean.

ii) Betetzen da, zeren: $\forall x\in \mathbb {Q} \Rightarrow {\overline {x}}=x$. Honela, $\forall x,y\in \mathbb {R} \Rightarrow e(x,y)=d({\overline {x}},{\overline {y}})=d(x,y)$

iii) Betetzen da. Zenbaki errealen multzoa trinkoa delako zenbaki arrazionalen gain.

Honela,$x\in \mathbb {R}$ emanik ${\overline {x}}\in \mathbb {R}$, eta zenbaki errealen multzoa trinkoa denez existitzen da caucyren segida arrazionala ${\overline {x}}\in \mathbb {R}$ puntura konbergentea.

$\exists \{a_{n}:n\geq 1\}\subset C(\mathbb {Q} )$, non $\lim _{n\to \infty }d({\overline {x}},a_{n})=0$. $\lim _{n\to \infty }d({\overline {x}},a_{n})=\lim _{n\to \infty }e(x,a_{n})=0$. Ondorioz existitzen da Cauchyren segida arrazionala, $x\in \mathbb {R}$ puntura konbergentea, $(\mathbb {R} ,e)$ espazio metrikoan.

iv) Betetzen da. Zenbaki errealen multzoa osatua delako zenbaki arrazionalen multzoaren gain.

$\{a_{n}:n\geq 1\}\subset C(\mathbb {Q} )$, zenbaki arrazionalen Cauchyren segida bada, existitzen da bere limitea zenbaki errealetan.

$\exists x\in \mathbb {R} :0=\lim _{n\to \infty }d(x,a_{n})=\lim _{n\to \infty }e({\overline {x}},a_{n})$, ondorioz: $\exists {\overline {x}}\in \mathbb {R} :\lim _{n\to \infty }e({\overline {x}},a_{n})=0$.

v) Betetzen da. Zenbaki errealen espazio euklidearra bateragarria delako: $+$, barne konposizio legearekiko.

$\forall x,y,z\in \mathbb {R} \Rightarrow e(x,y)=d({\overline {x}},{\overline {y}})=d({\overline {x}}+{\overline {z}},{\overline {y}}+{\overline {z}})=d({\overline {x+z}},{\overline {y+z}})=e(x+z,y+z)$

vi) Gorenaren axioma betetzen da, multzo hutsaren hipotesia betetzen ez delako.

$x_{n}^{1}\uparrow x;x_{n}^{2}\downarrow x\Rightarrow$ ${\overline {x}}=\bigcap _{n\geq 1}[x_{n}^{1},x_{n}^{2}]\neq \emptyset$.

Ondorioz kontraadibideak 6 axiomak betetzen ditu.

Baina kontraadibideak ez du betetzen konbergentziaren hipotesia zenbaki irrazionalen gain.

Har dezagun adibidez:$[\alpha ]=[{\sqrt {2}}]$ , eta suposa bedi orokortasuna galdu suposa bedi ${\sqrt {2}}\in {\mathcal {A}}$.

Izan bedi: $\lim _{n\to \infty }d({\sqrt {2}},a_{n})=0$ ,${\sqrt {2}}$ -ra konbergitzen duen segida arrazionala zenbaki errealetan.

Orduan $\{a_{n}:n\geq 1\}$, ${\sqrt {2}}$ ren inguruan metatzen da: $f(a)=f(\{a_{n}:n\geq 1\})={\sqrt {2}}$, adierazi da.

Baina bere limitea metrika berrian: $-{\sqrt {2}}$ da.

Izan ere:$0=\lim _{n\to \infty }d({\sqrt {2}},a_{n})=\lim _{n\to \infty }e({\overline {\sqrt {2}}},a_{n})=\lim _{n\to \infty }e(-{\sqrt {2}},a_{n})$.

Honela: $\{a_{n}:n\geq 1\}$ Cauchyren segida, ${\sqrt {2}}$ ren inguruan metatzen da: $f(a)={\sqrt {2}}$, baina metrika berrian: $-{\sqrt {2}}$-ra konbergitzen du.

${\sqrt {2}}=f(a)\neq -{\sqrt {2}}=\lim _{n\to \infty }a_{n}$. Azken limite hau metrika berrian.

Honela $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq ,e)$ espazio metrikoak ez du konbergentziaren hipotesia betetzen, puntu irrazionaletan.

Ondorioa.

Hipotesi moduan planteatu den proposizioa: Konbergentziaren hipotesia puntu ez arrazional baten gain Axioma bat da. Zenbaki errealen eraikuntzarako beharrezkoa.

Proposizioa: Konbergentziaren Axioma puntu ez arrazional baten gain

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ espazioa aipaturiko sei axiomekin eraikizen bada, eta zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa bada. Orduan:

$\exists x=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\in ([C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ]):f(x)=\lim _{n\to \infty }[x_{n}]$.

Froga:

$([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ espazio metrikoa, zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa balitz, konbergentziaren hipotesia puntu guzietan beteko zatekeen.

Kontraadibidean: sei axiomak betetzen dira eta puntu irrazionalek ez dute konbergentziaren ezaugarria betetzen. Honela sei axiometatik habiatuz zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa eraikitzen bada, kontraadibidea ondorioztatzea ezinezkoa da. Eta beraz ezinezkoa da, puntu irrazional guzien gain konbergentziaren ezaugarria ez betetzea. Honela sein axioma horiez gain, gutsienez puntu irrazional batek konbergentziaren ezaugarria betetzea beharrezko baldintza da, zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa eraikitzeko.

Eta beraz konbergentziaren hipotesia puntu irrazional baten gain, axioma berri bat da.

Ondorioa. Ondorengo axiomak bete behar ditu $([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$espazioak, zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa izateko.

i ) $([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )$gorputz ordenatu arkimediarra da, eta $([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )$ zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

ii) $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren hedapena da.

iii) $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, trinkoa da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

iv) $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoa, osatua da: $([\mathbb {Q} ],e)$espazio metriko euklidearraren gain.

v) $([C(\mathbb {Q} )],e)$ espazio metrikoak bateragarria da: $\psi$, barne konposizio legearekiko.

vi) $([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)$ espazioan Gorenaren axioma betetzen da.

vii) $\exists x=[\{x_{n}:n\geq 1\}]\in ([C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ]):f(x)=\lim _{n\to \infty }[x_{n}]$ . Konbergentziaren ezaugarria puntu irrazional baten gain.